网络科学

網絡的大小是以其節點數${\displaystyle N}$衡量，又或是其邊數${\displaystyle E}$。對於無重邊的連通網絡，邊數介乎${\displaystyle N-1}$（樹）和某個最大值${\displaystyle E_{\max }}$。對於簡單圖（網絡的每對頂點之間至多衹有一條無向邊，且頂點不會與自己連邊），有${\displaystyle E_{\max }={\tbinom {N}{2}}=N(N-1)/2}$；對於（也不允許頂點與自己連邊的）有向圖，則是${\displaystyle E_{\max }=N(N-1)}$；對於允許與自己連邊的有向圖，最大值是${\displaystyle E_{\max }=N^{2}}$。若允許一對頂點之間有多條不同連接，則總邊數沒有上限。

密度${\displaystyle D}$將網絡的邊數${\displaystyle E}$，化成介乎${\displaystyle 0}$至${\displaystyle 1}$的數值衡量。其為網絡含有的「非必須」邊數，相比全部可能的非必須邊數，兩者的百分比，即

${\displaystyle D={\frac {E-E_{\mathrm {min} }}{E_{\mathrm {max} }-E_{\mathrm {min} }}}}$

其中${\displaystyle E_{\mathrm {min} }}$和${\displaystyle E_{\mathrm {max} }}$分別是上一小節中，${\displaystyle N}$個節點的連通網絡，其邊數的最小和最大可能值。對於簡單圖，將${\displaystyle E_{\mathrm {max} }={\tbinom {N}{2}}}$和${\displaystyle E_{\mathrm {min} }=N-1}$代入得

${\displaystyle D={\frac {E-(N-1)}{E_{\mathrm {max} }-(N-1)}}={\frac {2(E-N+1)}{N(N-3)+2}}.}$

另一條公式是${\displaystyle D={\frac {T-2N+2}{N(N-3)+2}}}$，其中${\displaystyle T}$是單向連結的數目（Wasserman & Faust 1994）。[5]

彼得森圖，直徑2

網絡中的任意一對節點，可以找出兩者之間的最短線路。所有此種最短線路之中，最長的長度就稱為網絡的直徑。換言之，直徑是網絡上最遠兩點的最短距離。[6]舉例，附圖所示的網絡，其直徑為2，因為自任一點至另一點，衹需兩步連接。

以${\displaystyle N=4}$個節點生成的ER模型。給定${\displaystyle N}$個頂點，為每對頂點獨立地選取一個${\displaystyle 0}$至${\displaystyle 1}$之間的均勻隨機數，與某個固定的概率${\displaystyle p}$作比較。若隨機數小於${\displaystyle p}$，則兩點之間連邊。

艾狄胥-雷尼模型（英語：）得名自兩位匈牙利數學家艾狄胥·帕爾和雷尼·奥爾弗雷德，此模型生成的随机图中，每對頂點之間皆各自獨立地以某固定概率${\displaystyle p}$連邊。圖論的概率法常用此模型證明存在具某種性質的圖，並用作明確定義何謂「幾乎所有」圖皆具某種性質。

ER随机图${\displaystyle G(n,p)}$的參數${\displaystyle n}$表示頂點數，而${\displaystyle p}$則是任意兩頂點之間連邊的概率。此模型中，各個頂點的地位相同，沒有偏重，每個頂點的度遵循二項分佈，對於任意頂點${\displaystyle v}$，度數為${\displaystyle k}$的概率是：

${\displaystyle \mathbb {P} (\deg(v)=k)={n-1 \choose k}p^{k}(1-p)^{n-1-k}.}$

瓦茨-斯特罗加茨模型生成網絡時，用到「重連」（）。模型始於規律的柵格結構，然後其每條邊有一個固定的概率發生重連，改變連接的頂點。圖示的平均度為${\displaystyle \langle k\rangle =4}$。

瓦茨-斯特罗加茨模型（）產生的隨機圖滿足小世界性質。

初始時，將網絡的節點排成一圈，每個節點與最近${\displaystyle \langle k\rangle }$個節點相連，另一個參數是重連的概率${\displaystyle p}$，前述的每條邊以此概率發生重連，變成一條新的邊，保持一端不變，另一端則改為隨機一個頂點（但保持沒有兩點重複連邊）。重連次數期望值為${\displaystyle pE=pN\langle k\rangle /2}$。

因為始於規則的網絡，若重連少（即${\displaystyle p}$小），則集聚系數高，平均路徑亦長。隨${\displaystyle p}$增加，每次重連皆可能產生不同集聚之間的捷徑，所以集聚系數和平均路徑長度皆會下降。但是，後者降得更快，所以在某時刻，會出現集聚系數大而平均路徑短的網絡，此為「小世界網絡」的特性。[7]${\displaystyle p}$較大時，多數邊皆被重連，所得網絡與完全隨機的網絡差異不大。

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人际关系网络帮助决定了人们所选择的职业生涯，人们所找到的工作，他们买的商品，以及他们如何投票。社会网络决定着我们生活中的诸多方面。因此，社会网络是如何影响我们的行为，在一个社会中出现什么样的网络结构以及它们出现的概率有多大，以及我们为什么像现在这样安排我们自己的生活，就成为了值得研究的问题，也是许多社会科学研究中的关键因素[8]。