弗里德曼-勒梅特-罗伯逊-沃尔克度规

退化圆周极坐标中，空间度量的形式为[5][6]

${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {\Sigma } ^{2}={\frac {\mathrm {d} r^{2}}{1-kr^{2}}}+r^{2}\mathrm {d} \mathbf {\Omega } ^{2},\quad {\text{where }}\mathrm {d} \mathbf {\Omega } ^{2}=\mathrm {d} \theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,\mathrm {d} \phi ^{2}.}$

k是表示空间曲率的常数。有两种常见的单位约定：

• k的量纲可以是<长度⁻²>，这时r的量纲是长度，a(t)无量纲。k 是a(t) = 1时空间的高斯曲率。r有时被称为退化圆周，因为它等于以原点为圆心的（r值下的）周长除以2π（类似于史瓦西坐标的r）。在适当的情况下，a(t)通常被选为在当前宇宙年代为1，于是${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {\Sigma } }$可以测量共动距离。
• 或者，也可以认为k属于集合{−1 ,0, +1}（分别表示负曲率、零曲率和正曲率）。则r是无量纲量，a(t)单位为长度。k = ±1时，a(t)是空间的曲率半径，也可以写成R(t)。

退化圆周坐标的一个缺点是，在正曲率情形下它只能覆盖3球的一般，超出这一点的圆周开始减小，从而导致退化。（若是椭圆空间即确定了对点的3球，则这不是问题）

在超球面坐标或曲率归一坐标中，坐标r与径向距离成正比；由此可得

${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {\Sigma } ^{2}=\mathrm {d} r^{2}+S_{k}(r)^{2}\,\mathrm {d} \mathbf {\Omega } ^{2}}$

其中${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {\Omega } }$如前，且

${\displaystyle S_{k}(r)={\begin{cases}{\sqrt {k}}^{\,-1}\sin(r{\sqrt {k}}),&k>0\\r,&k=0\\{\sqrt {|k|}}^{\,-1}\sinh(r{\sqrt {|k|}}),&k<0.\end{cases}}}$

如前所述，有两种常见的单位约定：

• k的单位可以是<长度⁻²>，r的单位是长度，a(t)无量纲。k是a(t) = 1时空间的高斯曲率。在适当的情况下，a(t)通常被选为在当前宇宙年代为1，于是${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {\Sigma } }$可以测量共动距离。
• 或者，与之前一样，可将k看做属于集合{−1 ,0, +1}（分别表示负曲率、零曲率和正曲率）。那么r是无量纲量，a(t)单位为长度。k = ±1时，a(t)是空间的曲率半径 ，也可写作R(t)。注意当k = +1时，r本质上是θ、φ之外的第三个角，可用字母χ 代替r。

S通常是按上述方法分段定义的，是k与r的解析函数。也可以写成幂级数

${\displaystyle S_{k}(r)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}k^{n}r^{2n+1}}{(2n+1)!}}=r-{\frac {kr^{3}}{6}}+{\frac {k^{2}r^{5}}{120}}-\cdots }$

或

${\displaystyle S_{k}(r)=r\;\mathrm {sinc} \,(r{\sqrt {k}}),}$

其中sinc是未正则化的Sinc函数，${\displaystyle {\sqrt {k}}}$是k的虚根、零根或实根之一。这些定义对所有k都有效。

k = 0时可以简单写成

${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {\Sigma } ^{2}=\mathrm {d} x^{2}+\mathrm {d} y^{2}+\mathrm {d} z^{2}.}$

这可以扩展到k ≠ 0，方法是定义

${\displaystyle x=r\cos \theta \,}$；

${\displaystyle y=r\sin \theta \cos \phi \,}$，且

${\displaystyle z=r\sin \theta \sin \phi \,}$

其中r是上面定义的径向坐标之一，但这种情况很少见。

在使用笛卡尔坐标的平面${\displaystyle (k=0)}$FLRW空间中，里奇张量的剩余分量为[7]

${\displaystyle R_{tt}=-3{\frac {\ddot {a}}{a}},\quad R_{xx}=R_{yy}=R_{zz}=c^{-2}(a{\ddot {a}}+2{\dot {a}}^{2})}$

里奇标量为

${\displaystyle R=6c^{-2}\left({\frac {{\ddot {a}}(t)}{a(t)}}+{\frac {{\dot {a}}^{2}(t)}{a^{2}(t)}}\right).}$

在使用球面坐标（上文称为“退化圆周极坐标”）的更一般的FLRW空间中，里奇张量的剩余分量为[8]

${\displaystyle R_{tt}=-3{\frac {\ddot {a}}{a}},}$

${\displaystyle R_{rr}={\frac {c^{-2}(a(t){\ddot {a}}(t)+2{\dot {a}}^{2}(t))+2k}{1-kr^{2}}}}$

${\displaystyle R_{\theta \theta }=r^{2}(c^{-2}(a(t){\ddot {a}}(t)+2{\dot {a}}^{2}(t))+2k)}$

${\displaystyle R_{\phi \phi }=r^{2}(c^{-2}(a(t){\ddot {a}}(t)+2{\dot {a}}^{2}(t))+2k)\sin ^{2}(\theta )}$

里奇标量为

${\displaystyle R=6\left({\frac {{\ddot {a}}(t)}{c^{2}a(t)}}+{\frac {{\dot {a}}^{2}(t)}{c^{2}a^{2}(t)}}+{\frac {k}{a^{2}(t)}}\right).}$

上面给出的一对方程等价于下面一对方程：

${\displaystyle {\dot {\rho }}=-3{\frac {\dot {a}}{a}}\left(\rho +{\frac {p}{c^{2}}}\right)}$

${\displaystyle {\frac {\ddot {a}}{a}}=-{\frac {4\pi G}{3}}\left(\rho +{\frac {3p}{c^{2}}}\right)+{\frac {\Lambda c^{2}}{3}}}$

其中空间曲率指数${\displaystyle k}$是第一个方程的积分常数。

设宇宙膨胀是绝热过程（推导FLRW度规时隐含了这一假设），则第一个方程等价于热力学第一定律，可以从热力学的角度推导出来。

第二个方程指出，能量密度和压力都会导致宇宙膨胀率${\displaystyle {\dot {a}}}$下降，即都会使宇宙膨胀减速。这是引力作用的结果，根据广义相对论，压力的作用与质能密度类似。另一方面，宇宙学常数会导致宇宙膨胀加速。

做如下替换，宇宙学常数项便可省略掉：

${\displaystyle \rho \rightarrow \rho -{\frac {\Lambda c^{2}}{8\pi G}}}$

${\displaystyle p\rightarrow p+{\frac {\Lambda c^{4}}{8\pi G}}.}$

于是可以这样解释：宇宙学常数产生于一种具有负压的能量形式，大小等于其（正）能量密度：

${\displaystyle p=-\rho c^{2}\,}$

这是具有暗能量的真空状态方程。

推广它的尝试：

${\displaystyle p=w\rho c^{2}\,}$

若不做进一步修改，推广将不具有广义不变性。

事实上，要得到1个导致宇宙加速膨胀的项，只要有1个满足以下条件的标量场就足够了：

${\displaystyle p<-{\frac {\rho c^{2}}{3}}.\,}$

这样的场有时被称为五元场（quintessence）。

这是McCrea与Milne提出的，[11]有时会被误归为弗里德曼。弗里德曼方程等价于下面这对方程：

${\displaystyle -a^{3}{\dot {\rho }}=3a^{2}{\dot {a}}\rho +{\frac {3a^{2}p{\dot {a}}}{c^{2}}}\,}$

${\displaystyle {\frac {{\dot {a}}^{2}}{2}}-{\frac {G{\frac {4\pi a^{3}}{3}}\rho }{a}}=-{\frac {kc^{2}}{2}}\,.}$

第一个方程表明，一个给定立方体（瞬时边长为a）所含质量的减少量，就是因宇宙膨胀而从边流出的量，再加上压力对排除物质做功的质量当量。这就是宇宙的一部分包含的质能守恒（热力学第一定律）。

第二个方程表明，单位质量的例子随膨胀运动的动能（相对于原点）加其（负）引力势能（相对于更靠近原点的球体包含的质量）等于一个与宇宙曲率有关的常数。换句话说，处于自由落体状态的共动粒子的能量（相对于原点）守恒。广义相对论只是在宇宙空间曲率和粒子能量之间增加了一种联系：正总能量意味着负曲率，负总能量意味着正曲率。 宇宙学常数项被假定为暗能量，并因此与密度及压力项合并。 在普朗克时期，不能忽视量子效应。因此它们可能导致弗里德曼方程的偏离。