美术馆问题

假设有一个 ${\displaystyle n}$ 边形的美术馆, 需要多少个固定的守卫来监视整个美术馆？每个守卫被看做是一个固定的点，并且具有全方位的视野，即具有${\displaystyle 2\pi }$ 的视线范围。当然一个守卫的视线不能透过美术馆的墙壁。一个等价的问题是：需要多少盏灯来完全照亮整个房间。

Chvátal 美术馆定理[1] 给出了一个守卫最少数量的一个上界。这个定理陈述说 ${\displaystyle \left\lfloor n/3\right\rfloor }$ 个守卫足够充分(在某些时候必要)用来监视一个 ${\displaystyle n}$ 个顶点的简单多边形。

對一個三角化的多邊形做關於頂點的三-塗色。

首先，将用多边形内互不相交的对角线将多边形三角化。然后用三种不同的颜色对多边形的顶点上色，使得多边形内的每个三角形的都含有涂有不同颜色的顶。 这可以通过选定一个三角形对它的顶点涂以不同的颜色, 将其扩展到与其相邻的三角形具有唯一的方案。由于三角化的对偶图是一个树，我们可以继续下去直至所有的顶点被涂色。在其中的任何一种颜色的全部顶点上放置守卫就可以监视整个多边形：假设使用红、黄、蓝三种颜色，守卫被放置在所有红色的顶点上，由于每个三角形都有一个红色的顶点，并且在这个顶点上可以监视整个三角形,，样所有的三角形都在守卫的监视之中。