平面图 (图论)

實務上，用庫拉托夫斯基定理來判別一個圖的平面性是很費時的。然而，給一個 n 個頂點的圖，目前已經能用 O(n) 的時間(線性時間)來判別該圖是否是平面圖，參見英文維基條目 planarity testing。以下列出了常見的平面性判別法。

• 惠特尼平面性判別法根據代數對偶的存在性給出了平面性的一個刻劃。
• 麥克蘭恩平面性判別法根據平面圖的循環空間給出有限平面圖的代數刻劃。
• 左右平面性判別法根據深度优先搜索樹的 cotree 邊的二部性給出平面圖的一個刻劃，此判別法是左右平面性測試演算法的核心理論。
• 施尼德定理用偏序集維度表達出一個平面性的刻畫。
• 科蘭·德·韋迪耶爾平面性測試用圖的哈密頓算符的第二個特徵值的最大重數刻劃平面性。
• 哈納尼-塔特定理：一個圖是平面圖若且唯若他可以被畫在平面上，使得任兩相異邊交叉偶數次。因此有時可以藉由模 2 簡化平面性系統的研究。

一個有八個面的平面圖

一個平面圖將平面分成若干個互不相通的封閉區域，以及圖的外部的區域。其中，圖的外面的區域稱為圖的外部面，而圖裏面每個被頂點和邊分割出來的封閉并連通的區域稱為圖的內部面。圍成每個面圖的每個面至少對應著三條邊。

平面圖的頂點個數、邊數和面的個數之間有一個以大數學家萊昂哈德·歐拉命名的公式：

${\displaystyle V-E+F=C+1}$

其中，V是頂點的数目，E是邊的數目，F是面的數目，C是组成圖形的連通部分的數目。當圖是單連通圖的時候，公式簡化為：

${\displaystyle V-E+F=2}$

以前面表格提及的蝶形圖為例，有 V = 5，E = 6，且 F = 3。

若 ${\displaystyle G}$是連通的简单平面圖，則每個面都由至少 3 個邊圍成，且每個邊僅觸及 2 個面，因此有 ${\displaystyle 3F\leq 2E}$，代入上式可得

${\displaystyle E\leq 3V-6}$

由此可知，平面圖的邊是很稀疏 的。通過討論 ${\displaystyle G}$的各連通部分可知上式對一般的简单平面圖 ${\displaystyle G}$都成立。

事實上，歐拉公式對於空間中的凸多面體也適用，而這並不是巧合。因為凸多面體可以藉由施萊格爾圖的投影方式投影至平面形成一個連通的簡單平面圖，而施萊格爾投影是透視投影，他的透視中心可以選在凸多面體的任一一個面上的點。但並不是所有的連通簡單平面圖都是凸多面體的投影，例如樹即為反例。斯坦尼茨定理表明一個圖是個凸多面體的施萊格爾圖若且唯若它是 3-連通的簡單平面圖。

一个多于一条边的连通平面图满足不等式 ${\displaystyle 2e\geq 3f}$，因为每个面至少有三条有效边且每条边都肯定分割两个面。结合欧拉公式 ${\displaystyle v-e+f=2}$ 我们可以得到平面图的平均度数是严格小于6的。如果一个图的度数大于等于6，那么一定不是平面图。

若將頂點標號，有 n 個頂點的平面圖的數量的漸近式由${\displaystyle g\cdot n^{-7/2}\cdot \gamma ^{n}\cdot n!}$給出，其中常數${\displaystyle {\displaystyle \gamma \approx 27.22687}}$、${\displaystyle {\displaystyle g\approx 0.43\times 10^{-5}}}$[7]；若不將頂點標號，有 n 個頂點的平面圖的數量則界在 ${\displaystyle 2.72^{n}}$和 ${\displaystyle 30.06^{n}}$之間。

幾乎所有的平面圖的自同構數量隨著頂點數的增加呈現指數增長[8]。

四色定理敘述說任何平面圖都可以被 4-著色。

法里定理說所有簡單平面圖都從在一種平面嵌入法使得各邊對應到互相不相交的線段，在平面上一個有 n 點地集合被稱為泛頂點集如果所有 n 點的平面圖都可將頂點對應到它們，而且邊是互不相的直線。例如 4 個頂點的泛頂點集是所有滿足其中一個點在另外三個點圍成的三角形的內部。任何外圍平面圖可以被畫在平面上滿足所有頂點在給定的圓上面，所有邊是互不相的直線且都落在圓裡面。

一個平面圖被稱作是凸 的如果他可以被畫在平面上，使得各個面，包括外圍面，都是凸多邊形。一個圖是凸平面圖若且唯若它是一個3-連通平面圖的分割。

謝納曼猜想 (現在是定理) 說所有平面圖都可以表示成平面上一些線段的交集圖。

平面圖分離定理說給定任何包含 n 個頂點的平面圖，都可以藉由移除至多 ${\displaystyle O({\sqrt {n}})}$個點來將原圖分開成兩個部分，並且各部份的頂點數不超過 ${\displaystyle {\frac {2}{3}}n}$個。由此可推得平面圖的樹寬值和分支寬值至多 ${\displaystyle O({\sqrt {n}})}$。

存在複雜度為 O(n) 演算法來判斷兩個 n 點的平面圖是否同構，參見圖同構問題[9]。

欧式图是一个以平面上的点以及之间用欧几里得距离的边连接的图。

网格化系数定义为一个平面图的面个数除以 2n-5 (平面图最大的面数）。所以网格化系数最小是0（树），最大是1。

单词可表平面图包含了一个没有三角形的平面图，更一般的说，是可3着色的平面图。

平版圖和它的對偶圖

設 G 是一個平版圖，G 不見得是簡單圖，定義 G 的對偶圖 G* 如下述。在 G 中的每個面 (包括外圍面) 取一個點，作為 G* 的頂點，對於 G 中的每個邊 e，畫一條 G* 中的邊 e* 連接與 e 相鄰的兩個面中的頂點，而且 e* 要穿過 e。如果與 e 相鄰的兩面是同一個，則對該面中的點畫一個穿過 e 的自環，如果 G 中兩相鄰面的交界包含多個邊，則 G* 中的兩點之間要連多條邊，如右圖。

此時對偶圖 G* 也是平版圖，而且如果 G 是連通的，則 G** 與 G 在球面上是拓樸等價的，換句話說，他們是相同的平面映射。如果 G 是多面體 Γ 對應到的多面體圖，則 G* 是 Γ* 對應到的多面體圖，其中 Γ* 是 Γ 的對偶多面體。

對偶圖的重要性在於，對偶圖和原圖的性質的關係往往是易於刻劃的，因此，有時研究一個平版圖 (或平面圖) 的對偶圖的性質有助於對原圖的了解。注意到，一個平版圖的對偶圖在拓樸等價下是唯一的，但一個平面圖可能有多種平面嵌入的方式，因此可能會對應到多個不同的對偶圖。

1. Trudeau, Richard J. Corrected, enlarged republication. New York: Dover Pub. 1993: 64 [8 August 2012]. ISBN 978-0-486-67870-2. （原始内容存档于2019-05-05）. Thus a planar graph, when drawn on a flat surface, either has no edge-crossings or can be redrawn without them.
2. 王樹禾. . 科技出版社. 2004. ISBN 9787030124234.
3. . 教科書. 國立臺灣大學出版中心出版. 2017: 142 [2019-05-10]. ISBN 9789863502586. （原始内容存档于2021-04-13）.
4. 演算法觀點的圖論, 2017[3], p.142
5. Felsner (2004).
6. Sysło, Maciej M.; Proskurowski, Andrzej, , , Lecture Notes in Mathematics 1018, Springer-Verlag: 248–256, 1983, doi:10.1007/BFb0071635.
7. Giménez, Omer; Noy, Marc. . Journal of the American Mathematical Society. 2009, 22: 309–329. Bibcode:2009JAMS...22..309G. arXiv:math/0501269 . doi:10.1090/s0894-0347-08-00624-3.
8. McDiarmid, Colin; Steger, Angelika; Welsh, Dominic J.A. . Journal of Combinatorial Theory, Series B: 187–205. CiteSeerX 10.1.1.572.857 . doi:10.1016/j.jctb.2004.09.007.
9. I. S. Filotti, Jack N. Mayer. A polynomial-time algorithm for determining the isomorphism of graphs of fixed genus. Proceedings of the 12th Annual ACM Symposium on Theory of Computing, p.236–243. 1980.

• Planarity （页面存档备份，存于）：通過改變頂點的位置，令圖的邊互不重疊的遊戲