自伴算子

由於每一種經過測量而得到的物理量都是實值的。所以，可觀察量${\displaystyle O\,\!}$的期望值是實值的：

${\displaystyle \langle O\rangle =\langle O\rangle ^{*}\,\!}$。

對於任意量子態${\displaystyle |\psi \rangle \,\!}$，這關係都成立；

${\displaystyle \langle \psi |{\hat {O}}|\psi \rangle =\langle \psi |{\hat {O}}|\psi \rangle ^{*}\,\!}$。

根據伴隨算符的定義，假設${\displaystyle {\hat {O}}^{\dagger }\,\!}$是${\displaystyle {\hat {O}}\,\!}$的伴隨算符，則${\displaystyle \langle \psi |{\hat {O}}|\psi \rangle ^{*}=\langle \psi |{\hat {O}}^{\dagger }|\psi \rangle \,\!}$。因此，

${\displaystyle {\hat {O}}={\hat {O}}^{\dagger }\,\!}$。

這正是厄米算符的定義。所以，表示可觀察量的算符${\displaystyle {\hat {O}}\,\!}$，都是厄米算符。

可觀察量，像位置，動量，角動量，和自旋，都是用作用於希爾伯特空間的自伴算符來代表。哈密頓算符${\displaystyle {\hat {H}}\,\!}$是一個很重要的自伴算符，表達為

${\displaystyle {\hat {H}}\psi =-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi +V\psi \,\!}$；

其中，${\displaystyle \psi \,\!}$是粒子的波函數，${\displaystyle \hbar \,\!}$是約化普朗克常數，${\displaystyle m\,\!}$是質量，${\displaystyle V\,\!}$是位勢。

哈密頓算符所代表的哈密頓量是粒子的總能量，一個可觀察量。

動量是一個可觀察量，動量算符應該也是厄米算符：選擇位置空間，量子態${\displaystyle |\psi \rangle \,\!}$的波函數為${\displaystyle \psi (x)\,\!}$，

${\displaystyle \langle \psi |{\hat {p}}|\psi \rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\ \psi ^{*}{\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}\ dx=\left.{\frac {\hbar }{i}}\psi ^{*}\psi \right|_{-\infty }^{\infty }-\int _{-\infty }^{\infty }\ {\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial \psi ^{*}}{\partial x}}\psi \ dx=\int _{-\infty }^{\infty }\ \left({\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}\right)^{*}\psi \ dx=\langle \psi |{\hat {p}}|\psi \rangle ^{*}=\langle \psi |{\hat {p}}^{\dagger }|\psi \rangle \,\!}$。

對於任意量子態${\displaystyle |\psi \rangle \,\!}$，${\displaystyle {\hat {p}}={\hat {p}}^{\dagger }\,\!}$。所以，動量算符確實是一個厄米算符。