算符

在物理學领域裡，算符（operator）亦稱算子、運算子[1]，有别于数学的算子，其作用於物理系統的狀態空間，使得物理系統從某種狀態變換為另外一種狀態。這變換可能相當複雜，需要用很多方程式來表明，假若能夠使用算符來代表，可以更為簡單扼要地表達論述。

對於很多案例，假若作用的對象有所迥異，算符的物理行為也會不同；但是，對於有些案例，算符的物理行為具有一般性，這時，就可以將論題抽象化，專注於研究算符的物理行為，不必顧慮到狀態的獨特性。這方法比較適用於一些像對稱性或守恆定律的論題。因此，在經典力學裏，算符是很有用的工具。在量子力學裏，算符為理論表述不可或缺的要素。

對於更深奧的理論研究，可能會遇到很艱難的數學問題，算符理論（operator theory）能夠提供高功能的架構，使得數學推導更為簡潔精緻、易讀易懂，更能展現出內中物理涵意。

一般而言，在經典力學裏的算符大多作用於函數，這些函數的參數為各種各樣的物理量，算符將某函數映射為另一種函數。這種算符稱為「函數算符」。在量子力學裏的算符稱為「量子算符」，作用的對象是量子態。量子算符將某量子態映射為另一種量子態。

經典力學

在經典力學裏，粒子（或一群粒子）的動力行為是由拉格朗日量 ${\mathcal {L}}(\mathbf {q} ,\ {\dot {\mathbf {q} }},\ t)$ 或哈密頓量 ${\mathcal {H}}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} )$ 決定；其中， $\mathbf {q} =(q_{1},q_{2},q_{3},\dots ,q_{n})$ 、 ${\dot {\mathbf {q} }}=({\dot {q_{1}}},{\dot {q_{2}}},{\dot {q_{3}}},\dots ,{\dot {q}}_{n})$ 分別是廣義坐標、廣義速度， $\mathbf {p} =(p_{1},p_{2},p_{3},\dots ,p_{n})={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}$ 是共軛動量， $t$ 是時間。

假設拉格朗日量 ${\mathcal {L}}$ 或哈密頓量 ${\mathcal {H}}$ 與某廣義坐標 $q_{i}$ 無關，則當 $q_{i}$ 有所改變時， ${\mathcal {L}}$ 或 ${\mathcal {H}}$ 仍舊會保持不變，這意味著粒子的動力行為也會保持不變，對應於 $q_{i}$ 的共軛動量 $p_{i}$ 守恆。對於廣義坐標 $q_{i}$ 的改變，動力行為所具有的不變性是一種對稱性。在經典力學裏，當研讀有關對稱性的課題時，算符是很有用的工具。

特別而言，假設對於某種群 $G$ 的變換運算，物理系統的哈密頓量是個不變量；也就是說，假設 $S\in G$ ，

S{\mathcal {H}}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} )={\mathcal {H}}(\mathbf {q} ',\ \mathbf {p} ')={\mathcal {H}}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} )

。

在這案例裏，所有 $G$ 的元素 $S$ 都是物理算符，能夠將物理系統從某種狀態變換為另一種狀態；儘管 $S$ 作用於這物理系統，哈密頓量守恆不變。

舉一個關於平移於空間的簡單例子。「平移算符」 $T_{a}$ 能夠將粒子從坐標為 $q_{i}$ 移動至坐標為 $q_{i}+a$ ，以方程式表示：

T_{a}f(q_{i})=f(q_{i}-a)

；

其中， $f(q_{i})$ 是描述一群粒子的密度函數。

給定一個對於平移變換具有不變性的物理系統，則儘管 $T_{a}$ 的作用，這物理系統的哈密頓量 ${\mathcal {H}}$ 是個不變量，對應於坐標 $q_{i}$ 的動量 $p_{i}$ 守恆。

經典力學算符表格

算符	標記	位置	動量
平移算符	$T(\mathbf {\Delta \mathbf {r} } )$	$\mathbf {r} \rightarrow \mathbf {r} +\Delta \mathbf {r}$	$\mathbf {p} \rightarrow \mathbf {p}$
時間演化算符	$U(\Delta t)$	$\mathbf {r} (t)\rightarrow \mathbf {r} (t+\Delta t)$	$\mathbf {p} (t)\rightarrow \mathbf {p} (t+\Delta t)$
旋轉算符	$R(\mathbf {\hat {n}} ,\theta )$	$\mathbf {r} \rightarrow R(\mathbf {\hat {n}} ,\theta )\mathbf {r}$	$\mathbf {p} \rightarrow R(\mathbf {\hat {n}} ,\theta )\mathbf {p}$
伽利略變換算符	$G(\mathbf {v} )$	$\mathbf {r} \rightarrow \mathbf {r} +\mathbf {v} t$	$\mathbf {p} \rightarrow \mathbf {p} +m\mathbf {v}$
宇稱算符	$P$	$\mathbf {r} \rightarrow -\mathbf {r}$	$\mathbf {p} \rightarrow -\mathbf {p}$
時間反演算符	$\Theta$	$\mathbf {r} \rightarrow \mathbf {r} (-t)$	$\mathbf {p} \rightarrow -\mathbf {p} (-t)$

$R({\hat {\mathbf {n} }},\theta )$ 是旋轉矩陣， ${\hat {\mathbf {n} }}$ 是旋轉軸向量， $\theta$ 是旋轉角弧。

生成元概念

對於一個微小的平移變換，猜測平移算符的形式為

T_{\epsilon }\approx I+\epsilon A

；

其中， $I$ 是「單位算符」──變換群的單位元， $\epsilon$ 是微小參數， $A$ 是專門用來設定平移變換群的生成元。

為了簡化論述，只考慮一維案例，推導平移於一維空間的生成元。將平移算符 $T_{\epsilon }$ 作用於函數 $f(x)$ ：

T_{\epsilon }f(x)=f(x-\epsilon )

。

由於 $\epsilon$ 很微小，可以泰勒近似 $f(x-\epsilon )$ 為

T_{\epsilon }f(x)=f(x-\epsilon )\approx f(x)-\epsilon f'(x)

。

重寫平移算符的方程式為

T_{\epsilon }f(x)=(I-\epsilon \mathrm {D} )f(x)

；

其中，導數算符 $\mathrm {D} ={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}$ 是平移群的生成元。

總結，平移群的生成元是導數算符。

指數映射

在正常狀況下，通過指數映射，可以從生成元得到整個群。對於平移於空間這案例，重複地做 $N$ 次微小平移變換 $T_{a/N}$ ，來代替一個有限值為 $a$ 的平移變換 $T_{a}$ ：

T_{a}f(x)=T_{a/N}\cdots T_{a/N}\ f(x)

。

現在，讓 $N$ 變得無窮大，則因子 $a/N$ 趨於無窮小：

T_{a}f(x)=\lim _{N\to \infty }T_{a/N}\cdots T_{a/N}f(x)=\lim _{N\to \infty }(I-(a/N)\mathrm {D} )^{N}f(x)

。

這表達式的極限為指數函數：

T_{a}f(x)=e^{-a\mathrm {D} }f(x)

。

核對這結果的正確性，將指數函數泰勒展開為冪級數：

T_{a}f(x)=\left(I-a\mathrm {D} +{a^{2}\mathrm {D} ^{2} \over 2!}-{a^{3}\mathrm {D} ^{3} \over 3!}+\cdots \right)f(x)

。

這方程式的右手邊可以重寫為

f(x)-af'(x)+{a^{2} \over 2!}f''(x)-{a^{3} \over 3!}f'''(x)+\cdots

。

這正是 $f(x-a)$ 的泰勒級數，也是 $T_{a}f(x)$ 的原本表達式結果。

物理算符的數學性質是很重要的研讀論題。更多相關內容，請參閱條目C*-代数與蓋爾范德-奈馬克定理（Gelfand-Naimark theorem）。

量子力學

在量子力學裏，算符的功能被發揮得淋漓盡致。量子力學的數學表述建立於算符的概念。量子系統的量子態可以用態向量設定，態向量是向量空間的單位範數向量。在向量空間內，量子算符作用於量子態，使它變換成另一個量子態。由於物體的態向量範數應該保持不變，量子算符必須是厄米算符。假若變換前的量子態與變換後的量子態，除了乘法數值以外，兩個量子態相同，則稱此量子態為本徵態，稱此乘法數值為本徵值。[2]^:11-12

物理實驗中可以觀測到的物理量稱為可觀察量。每一個可觀察量，都有其對應的算符。可觀察量的算符也許會有很多本徵值與本徵態。根據統計詮釋，每一次測量的結果只能是其中的一個本徵值，而且，測得這本徵值的機會呈機率性，量子系統的量子態也會改變為對應於本徵值的本徵態。[3]^:106-109

量子算符

假設，物理量 $O$ 是某量子系統的可觀察量，其對應的量子算符 ${\hat {O}}$ 可能有很多不同的本徵值 $O_{i}$ 與對應的本徵態 $|e_{i}\rangle$ ，這些本徵態 $|e_{i}\rangle ,\quad i=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$ ，形成了具有正交歸一性的基底：[3]^:96-99

\langle e_{i}|e_{j}\rangle =\delta _{ij}

；

其中， $\delta _{ij}$ 是克羅內克函數。

假設，某量子系統的量子態為

|\psi \rangle =\sum _{i}\ c_{i}|e_{i}\rangle

；

其中， $c_{i}=\langle e_{i}|\psi \rangle$ 是複係數，是在 $|e_{i}\rangle$ 裏找到 $|\psi \rangle$ 的機率幅。[2]^:50

測量這動作將量子態 $|\psi \rangle$ 改變為本徵態 $|e_{i}\rangle$ 的機率為 $p_{i}=|c_{i}|^{2}$ ，測量結果是本徵值 $O_{i}$ 的機率也為 $p_{i}$ 。

期望值

在量子力學裏，重複地做同樣實驗，通常會得到不同的測量結果，期望值是理論平均值，可以用來預測測量結果的統計平均值。

採用狄拉克標記，對於量子系統的量子態 $|\psi \rangle$ ，可觀察量 $O$ 的期望值 $\langle O\rangle$ 定義為[2]^:24-25

\langle O\rangle \ {\stackrel {def}{=}}\ \langle \psi |{\hat {O}}|\psi \rangle

；

其中， ${\hat {O}}$ 是對應於可觀察量 $O$ 的算符。

將算符 ${\hat {O}}$ 作用於量子態 $|\psi \rangle$ ，會形成新量子態 $|\phi \rangle$ ：

|\phi \rangle ={\hat {O}}|\psi \rangle =\sum _{i}\ c_{i}{\hat {O}}|e_{i}\rangle =\sum _{i}\ c_{i}O_{i}|e_{i}\rangle

。

從左邊乘以量子態 $\langle \psi |$ ，經過一番運算，可以得到

\langle \psi |\phi \rangle =\langle \psi |{\hat {O}}|\psi \rangle =\sum _{i}\ c_{i}O_{i}\langle \psi |e_{i}\rangle =\sum _{i}\ |c_{i}|^{2}O_{i}=\sum _{i}\ p_{i}O_{i}

。

所以，每一個本徵值與其機率的乘積，所有乘積的代數和，就是可觀察量 $O$ 的期望值：

\langle O\rangle =\sum _{i}\ p_{i}O_{i}

。

將上述定義式加以推廣，就可以用來計算任意函數 $F(O)$ 的期望值：

\langle F(O)\rangle =\langle \psi |F({\hat {O}})|\psi \rangle

。

例如， $F({\hat {O}})$ 可以是 ${\hat {O}}^{2}$ ，即重複施加算符 ${\hat {O}}$ 兩次：

\langle O^{2}\rangle =\langle \psi \vert {\hat {O}}^{2}\vert \psi \rangle

。

對易算符

假設兩種可觀察量 $A$ 、 $B$ 的算符分別為 ${\hat {A}}$ 、 ${\hat {B}}$ ，它們的對易算符定義為

[{\hat {A}},{\hat {B}}]\ {\stackrel {def}{=}}\ {\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}}

。

對易算符是由兩種算符組合而成的複合算符，當作用於量子態 $|\psi \rangle$ 時，會給出

[{\hat {A}},{\hat {B}}]|\psi \rangle ={\hat {A}}{\hat {B}}|\psi \rangle -{\hat {B}}{\hat {A}}|\psi \rangle

。

假設 $[{\hat {A}},{\hat {B}}]=0$ ，則稱這兩種可觀察量為「相容可觀察量」，否則， $[{\hat {A}},{\hat {B}}]\neq 0$ ，稱這兩種可觀察量為「不相容可觀察量」。

假設兩種可觀察量為不相容可觀察量，則由於不確定原理，絕無法製備出這兩種可觀察量在任意精確度內的量子系統。注意到這是一個關於製備方面的問題，不是一個關於測量方面的問題。假若精心設計測量實驗，裝備足夠優良的測量儀器，則對於某些量子系統，測量這兩種可觀察量至任意精確度是很容易達成的任務。[4]

厄米算符

每一種經過測量而得到的物理量都是實值，因此，可觀察量 $O$ 的期望值是實值：

\langle O\rangle =\langle O\rangle ^{*}

。

對於任意量子態 $|\psi \rangle$ ，這關係都成立：

\langle \psi |{\hat {O}}|\psi \rangle =\langle \psi |{\hat {O}}|\psi \rangle ^{*}

。

根據伴隨算符的定義，假設 ${\hat {O}}^{\dagger }$ 是 ${\hat {O}}$ 的伴隨算符，則 $\langle \psi |{\hat {O}}|\psi \rangle ^{*}=\langle \psi |{\hat {O}}^{\dagger }|\psi \rangle$ 。因此，

{\hat {O}}={\hat {O}}^{\dagger }

。

這正是厄米算符的定義。所以，表現可觀察量的算符，都是厄米算符。[3]^:96-99

矩陣力學

應用基底的完備性，添加單位算符 ${\hat {I}}=\sum _{i}|e_{i}\rangle \langle e_{i}|$ 於算符 ${\hat {O}}$ 的兩旁，可以得到[2]^:20-23

{\hat {O}}=\sum _{i,j}|e_{i}\rangle \langle e_{i}|{\hat {O}}|e_{j}\rangle \langle e_{j}|=\sum _{ij}O_{i,j}|e_{i}\rangle \langle e_{j}|

；

其中， $O_{ij}=\langle e_{i}|{\hat {O}}|e_{j}\rangle$ 是求和式內每一個項目的係數。

所以，量子算符可以用矩陣形式來代表：

{\hat {O}}\ {\stackrel {rep}{=}}\ {\begin{pmatrix}O_{11}&O_{12}&\cdots &O_{1n}\\O_{21}&O_{22}&\cdots &O_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\O_{n1}&O_{n2}&\cdots &O_{nn}\\\end{pmatrix}}

。

算符 ${\hat {O}}$ 與它的伴隨算符 ${\hat {O}}^{\dagger }$ 彼此之間的關係為

\langle e_{i}|{\hat {O}}|e_{j}\rangle =\langle e_{j}|{\hat {O}}^{\dagger }|e_{i}\rangle ^{*}

。

所以，分別代表這兩個算符的兩個矩陣，彼此是對方的轉置共軛。對於厄米算符，代表的矩陣是個實值的對稱矩陣。

用矩陣代數來計算算符 ${\hat {O}}$ 怎樣作用於量子態 $|\psi \rangle$ ，假設系統因此變換為量子態 $|\phi \rangle$ ：

|\phi \rangle ={\hat {O}}|\psi \rangle

。

從左邊乘以本徵態 $\langle e_{i}|$ ，應用基底的完備性，添加單位算符 ${\hat {I}}$ 於算符的右邊，可以得到

\langle e_{i}|\phi \rangle =\langle e_{i}|{\hat {O}}|\psi \rangle =\sum _{j}\langle e_{i}|{\hat {O}}|e_{j}\rangle \langle e_{j}|\psi \rangle =\sum _{ij}O_{ij}\langle e_{j}|\psi \rangle

。

右矢 $|\phi \rangle$ 、 $|\psi \rangle$ 分別用豎矩陣來代表

|\phi \rangle \ {\stackrel {rep}{=}}\ {\begin{pmatrix}\langle e_{1}|\phi \rangle \\\langle e_{2}|\phi \rangle \\\vdots \\\langle e_{n}|\phi \rangle \\\end{pmatrix}}

、　　　　

|\psi \rangle \ {\stackrel {rep}{=}}\ {\begin{pmatrix}\langle e_{1}|\psi \rangle \\\langle e_{2}|\psi \rangle \\\vdots \\\langle e_{n}|\psi \rangle \\\end{pmatrix}}

。

兩個豎矩陣彼此之間的關係為

{\begin{pmatrix}\langle e_{1}|\phi \rangle \\\langle e_{2}|\phi \rangle \\\vdots \\\langle e_{n}|\phi \rangle \\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}O_{11}&O_{12}&\cdots &O_{1n}\\O_{21}&O_{22}&\cdots &O_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\O_{n1}&O_{n2}&\cdots &O_{nn}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\langle e_{1}|\psi \rangle \\\langle e_{2}|\psi \rangle \\\vdots \\\langle e_{n}|\psi \rangle \\\end{pmatrix}}

。

假設算符 ${\hat {O}}$ 是厄米算符，則其所有本徵態都相互正交。[5]以矩陣來代表算符，可以計算出一組本徵值與對應的本徵態，每一次做測量會得到的結果只能是這一組本徵值中之一。由於本徵態的正交性質，可以找到一組基底來表示每一種量子態。解析方塊矩陣的特徵多項式，就可以找到本徵值 $\lambda$ ：

\det \left({\hat {O}}-\lambda {\hat {I}}\right)=0

。

量子算符表格

在這表格裏，算符的表現空間是位置空間。假若表現空間是其它種空間，則表示出的方程式會不一樣。在英文字母上方的尖角號表示整個符號代表的是個量子算符，不是單位向量。

算符名稱	直角坐標系分量表示	向量表示
位置算符	${\begin{aligned}{\hat {x}}=x\\{\hat {y}}=y\\{\hat {z}}=z\end{aligned}}$	$\mathbf {\hat {r}} =\mathbf {r}$
動量算符	一般狀況 ${\begin{aligned}{\hat {p}}_{x}&=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}\\{\hat {p}}_{y}&=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial y}}\\{\hat {p}}_{z}&=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial z}}\end{aligned}}$	一般狀況 $\mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \nabla$
動量算符	電磁場 ${\begin{aligned}{\hat {p}}_{x}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}-qA_{x}\\{\hat {p}}_{y}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial y}}-qA_{y}\\{\hat {p}}_{z}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial z}}-qA_{z}\end{aligned}}$	電磁場（ $\mathbf {A}$ 是磁向量勢） $\mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \nabla -q\mathbf {A}$
動能算符	平移運動 ${\begin{aligned}{\hat {T}}_{x}&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\\{\hat {T}}_{y}&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\\{\hat {T}}_{z}&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\\\end{aligned}}$	平移運動 ${\begin{aligned}{\hat {T}}&={\hat {T}}_{x}+{\hat {T}}_{y}+{\hat {T}}_{z}\\&={\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\\\end{aligned}}$
	電磁場 ${\begin{aligned}{\hat {T}}_{x}&={\frac {1}{2m}}\left(-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}-qA_{x}\right)^{2}\\{\hat {T}}_{y}&={\frac {1}{2m}}\left(-i\hbar {\frac {\partial }{\partial y}}-qA_{y}\right)^{2}\\{\hat {T}}_{z}&={\frac {1}{2m}}\left(-i\hbar {\frac {\partial }{\partial z}}-qA_{z}\right)^{2}\end{aligned}}$	電磁場（ $\mathbf {A}$ 是磁向量勢） ${\begin{aligned}{\hat {T}}&={\frac {\mathbf {\hat {p}} \cdot \mathbf {\hat {p}} }{2m}}\\&={\frac {1}{2m}}(-i\hbar \nabla -q\mathbf {A} )\cdot (-i\hbar \nabla -q\mathbf {A} )\\&={\frac {1}{2m}}(-i\hbar \nabla -q\mathbf {A} )^{2}\end{aligned}}$
	旋轉運動（ $I$ 是轉動慣量） ${\begin{aligned}{\hat {T}}_{xx}&={\frac {{\hat {J}}_{x}^{2}}{2I_{xx}}}\\{\hat {T}}_{yy}&={\frac {{\hat {J}}_{y}^{2}}{2I_{yy}}}\\{\hat {T}}_{zz}&={\frac {{\hat {J}}_{z}^{2}}{2I_{zz}}}\\\end{aligned}}$	旋轉運動 ${\hat {T}}={\frac {\mathbf {\hat {J}} \cdot \mathbf {\hat {J}} }{2I}}$
勢能算符	N/A	${\hat {V}}=V\left(\mathbf {r} ,t\right)$
總能量算符	N/A	含時位勢： ${\hat {E}}=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}$ 不含時位勢： ${\hat {E}}=E$
哈密頓算符	N/A	${\begin{aligned}{\hat {H}}&={\hat {T}}+{\hat {V}}\\&={\frac {\mathbf {\hat {p}} \cdot \mathbf {\hat {p}} }{2m}}+V\\&={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}+V\\\end{aligned}}$
角動量算符	${\begin{aligned}{\hat {L}}_{x}&=-i\hbar \left(y{\partial \over \partial z}-z{\partial \over \partial y}\right)\\{\hat {L}}_{y}&=-i\hbar \left(z{\partial \over \partial x}-x{\partial \over \partial z}\right)\\{\hat {L}}_{z}&=-i\hbar \left(x{\partial \over \partial y}-y{\partial \over \partial x}\right)\end{aligned}}$	$\mathbf {\hat {L}} =-i\hbar \mathbf {r} \times \nabla$
自旋算符	${\begin{aligned}{\hat {S}}_{x}={\hbar \over 2}\sigma _{x}\\{\hat {S}}_{y}={\hbar \over 2}\sigma _{y}\\{\hat {S}}_{z}={\hbar \over 2}\sigma _{z}\end{aligned}}$ 其中， $\sigma _{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}$ $\sigma _{y}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}$ $\sigma _{z}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$ 是自旋1/2粒子的包立矩陣。	$\mathbf {\hat {S}} ={\hbar \over 2}{\boldsymbol {\sigma }}$ 其中，向量 ${\boldsymbol {\sigma }}$ 的分量是包立矩陣。
總角動量算符	${\begin{aligned}{\hat {J}}_{x}&={\hat {L}}_{x}+{\hat {S}}_{x}\\{\hat {J}}_{y}&={\hat {L}}_{y}+{\hat {S}}_{y}\\{\hat {J}}_{z}&={\hat {L}}_{z}+{\hat {S}}_{z}\end{aligned}}$	${\begin{aligned}\mathbf {\hat {J}} &=\mathbf {\hat {L}} +\mathbf {\hat {S}} \\&=-i\hbar \mathbf {r} \times \nabla +{\frac {\hbar }{2}}{\boldsymbol {\sigma }}\end{aligned}}$
躍遷矩（電）（transition moment）	${\begin{aligned}{\hat {d}}_{x}&=qx\\{\hat {d}}_{y}&=qy\\{\hat {d}}_{z}&=qz\end{aligned}}$	$\mathbf {\hat {d}} =q\mathbf {r}$

位置算符

只思考一維問題，將位置算符 ${\hat {x}}$ 施加於位置本徵態 $|x\rangle$ ，可以得到本徵值 $x$ ，即粒子的位置：[6]^:220-221

{\hat {x}}|x\rangle =x|x\rangle

。

由於位置基底具有完整性， ${\hat {I}}=\int _{-\infty }^{\infty }\ |x\rangle \langle x|\mathrm {d} x$ ，任意量子態 $|\psi \rangle$ 可以按著位置本徵態形成的基底展開：

|\psi \rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\ |x\rangle \langle x|\psi \rangle \mathrm {d} x

。

將位置算符 ${\hat {x}}$ 施加於量子態 $|\psi \rangle$ ，由於算符 ${\hat {x}}$ 只作用於右矢 $|x\rangle$ ，與其它數學個體無關，可以移入積分式內：

{\hat {x}}|\psi \rangle ={\hat {x}}\int _{-\infty }^{\infty }\ |x\rangle \langle x|\psi \rangle \mathrm {d} x=\int _{-\infty }^{\infty }\ {\hat {x}}|x\rangle \langle x|\psi \rangle \mathrm {d} x=\int _{-\infty }^{\infty }\ x|x\rangle \langle x|\psi \rangle \mathrm {d} x

。

左矢 $\langle \psi |$ 與這方程式的內積為

\langle \psi |{\hat {x}}|\psi \rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\ x\langle \psi |x\rangle \langle x|\psi \rangle \mathrm {d} x

。

設定量子態 $|\alpha \rangle ={\hat {x}}|\psi \rangle$ 。由於位置基底具有完整性， ${\hat {I}}=\int _{-\infty }^{\infty }\ |x\rangle \langle x|\mathrm {d} x$ ，量子態 $\langle \psi |$ 與 $|\alpha \rangle$ 的內積，可以按著位置本徵態形成的基底展開為

\langle \psi |\alpha \rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\ \langle \psi |x\rangle \langle x|\alpha \rangle \mathrm {d} x=\int _{-\infty }^{\infty }\ \langle \psi |x\rangle \langle x|{\hat {x}}|\psi \rangle \mathrm {d} x

。

將這兩個積分式加以比較，立刻可以辨識出全等式

\langle x|{\hat {x}}|\psi \rangle =x\langle x|\psi \rangle

。

設定量子態 $|\Psi \rangle ={\hat {x}}|\psi \rangle$ 。量子態 $|\Psi \rangle$ 、 $|\psi \rangle$ 的位置空間表現，即波函數，分別定義為

\Psi (x)\ {\stackrel {def}{=}}\ \langle x|\Psi \rangle

、

\psi (x)\ {\stackrel {def}{=}}\ \langle x|\psi \rangle

。

兩個波函數 $\Psi (x)$ 、 $\psi (x)$ 之間的關係為

\Psi (x)=x\psi (x)

。

總結，位置算符 ${\hat {x}}$ 作用於量子態 $|\psi \rangle$ 的結果 $|\Psi \rangle$ ，表現於位置空間，等價於波函數 $\psi (x)$ 與 $x$ 的乘積 $\Psi (x)$ 。

動量算符

表現於位置空間，一維動量算符為

{\hat {p}}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}

。

將動量算符 ${\hat {p}}$ 施加於量子態 $|\psi \rangle$ ，可以得到類似前一節得到的結果：

\langle x|{\hat {p}}|\psi \rangle =-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}\langle x|\psi \rangle

。

應用位置基底所具有的完整性，對於任意量子態 $|\phi \rangle$ ，可以得到更廣義的結果：

{\begin{aligned}\langle \phi |{\hat {p}}|\psi \rangle &=\int _{-\infty }^{\infty }\ \langle \phi |x\rangle \langle x|{\hat {p}}|\psi \rangle \mathrm {d} x\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\ \langle \phi |x\rangle \left(-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}\right)\langle x|\psi \rangle \mathrm {d} x\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\ \phi ^{*}(x)\left(-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}\right)\psi (x)\mathrm {d} x\\\end{aligned}}

；

其中， $\phi (x)=\langle x|\phi \rangle$ 、 $\psi (x)=\langle x|\psi \rangle$ 分別是量子態 $|\phi \rangle$ 、 $|\psi \rangle$ 表現於位置空間的波函數。

假設 $|\psi \rangle$ 是 ${\hat {p}}$ 的本徵態，本徵值為 $p$ ，則可得到

\langle x|{\hat {p}}|\psi \rangle =p\langle x|\psi \rangle =-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}\langle x|\psi \rangle

。

將 $|\psi \rangle$ 改寫為本徵值為 $p$ 的本徵態 $|p\rangle$ ，方程式改寫為

-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}\langle x|p\rangle =p\langle x|p\rangle

。

這微分方程式的解析解為

\langle x|p\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{ipx/\hbar }

。

所以，動量本徵態的波函數是一個平面波。不需要應用薛丁格方程式，就可以推導求得這出結果。[2]^:50-54

參閱

有界算符
表示論
算子

參考文獻

Kittel charles著,洪連輝等譯，固態物理學導論，第681頁。
Sakurai, J. J.; Napolitano, Jim, 2nd, Addison-Wesley, 2010, ISBN 978-0805382914
Griffiths, David J., , Prentice Hall, 2004, ISBN 0-13-111892-7
Ballentine, L. E., , Reviews of Modern Physics, 1970, 42: 358–381, doi:10.1103/RevModPhys.42.358
Molecular Quantum Mechanics Parts I and II: An Introduction to QUANTUM CHEMISRTY (Volume 1), P.W. Atkins, Oxford University Press, 1977, ISBN 0-19-855129-0
費曼, 理查; 雷頓, 羅伯; 山德士, 馬修, , 台灣: 天下文化書: pp. 205–237, 2006, ISBN 986-417-672-2

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[1] Kittel charles著,洪連輝等譯，固態物理學導論，第681頁。

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