电感

流動於閉合迴路的含時電流所產生的含時磁通量，會促使閉合迴路本身出現感應電動勢。

如右圖所示，流動於閉合迴路的含時電流${\displaystyle i(t)}$所產生的含時磁通量${\displaystyle \Phi (i)}$，根據法拉第電磁感應定律，會促使閉合迴路本身出現感應電動勢${\displaystyle {\mathcal {E}}}$：

${\displaystyle {\mathcal {E}}=-N{{\mathrm {d} \Phi } \over \mathrm {d} t}=-N{{\mathrm {d} \Phi } \over \mathrm {d} i}\ {\mathrm {d} i \over \mathrm {d} t}}$；

其中，${\displaystyle N}$是閉合迴路的捲繞匝數。

設定電感${\displaystyle L}$為

${\displaystyle L=N{\frac {\mathrm {d} \Phi }{\mathrm {d} i}}}$。

則感應電動勢與含時電流之間的關係為

${\displaystyle {\mathcal {E}}=-L{\mathrm {d} i \over \mathrm {d} t}}$。

由此可知，一個典型的電感元件中，在其幾何與物理特性都固定的狀況下，產生的電壓${\displaystyle v}$為：

${\displaystyle v=L{{\mathrm {d} i} \over \mathrm {d} t}}$。

电感的作用是抵抗电流的变化，但是这种作用与电阻阻碍电流的流動是有区别的。电阻阻碍电流的流動的特徵是消耗电能，而电感则纯粹是抵抗电流的变化。当电流增加时电感抵抗电流的增加；当电流减小时电感抵抗电流的减小。电感抵抗电流变化的过程并不消耗电能，當电流增加时它會将能量以磁场的形式暂时储存起来，等到电流减小时它又會将磁场的能量释放出来，其效應就是抵抗电流的变化。

圖上方，閉合迴路1的含時電流${\displaystyle i_{1}(t)}$所產生的含時磁通量，會促使閉合迴路2出現感應電動勢${\displaystyle {\mathcal {E}}_{2}}$。圖下方，閉合迴路2的含時電流${\displaystyle i_{2}(t)}$所產生的含時磁通量，會促使閉合迴路1出現感應電動勢${\displaystyle {\mathcal {E}}_{1}}$。

如右圖所示，流動於閉合迴路1的含時電流${\displaystyle i_{1}(t)}$，會產生磁通量${\displaystyle \Phi _{2}(t)}$穿過閉合迴路2，促使閉合迴路2出現感應電動勢${\displaystyle {\mathcal {E}}_{2}}$。穿過閉合迴路2的磁通量和流動於閉合迴路1的含時電流，有線性關係，稱為互感${\displaystyle M_{21}}$，以方程式表達為。

${\displaystyle \Phi _{2}=M_{21}i_{1}}$。

計算互感，可使用紐曼公式（)：

• ${\displaystyle M_{21}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\oint _{\mathbb {C} _{1}}\oint _{\mathbb {C} _{2}}{\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}_{1}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}_{2}}{|\mathbf {X} _{2}-\mathbf {X} _{1}|}}}$；

其中，${\displaystyle \mu _{0}}$是磁常數，${\displaystyle \mathbb {C} _{1}}$是閉合迴路1，${\displaystyle \mathbb {C} _{2}}$是閉合迴路2，${\displaystyle \mathbf {X} _{1}}$是微小線元素${\displaystyle \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}_{1}}$的位置，${\displaystyle \mathbf {X} _{2}}$是微小線元素${\displaystyle \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}_{2}}$的位置。

由此公式可見，兩個線圈之間互感相同：${\displaystyle M_{12}=M_{21}}$，且互感是由兩個線圈的形狀、尺寸和相對位置而確定。

穿過閉合迴路2的磁通量${\displaystyle \Phi _{2}(t)}$為

${\displaystyle \Phi _{2}(t)=\int _{\mathbb {S} _{2}}\mathbf {B} _{1}(\mathbf {X} _{2},t)\cdot \mathrm {d} \mathbf {a} _{2}}$；

其中，${\displaystyle \mathbb {S} _{2}}$是邊緣為${\displaystyle \mathbb {C} _{2}}$的任意曲面，${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {a} _{2}}$是微小面元素。

改用磁向量勢${\displaystyle \mathbf {A} _{1}}$計算：

${\displaystyle \mathbf {B} _{1}(\mathbf {X} _{2},t)=\nabla _{2}\times \mathbf {A} _{1}(\mathbf {X} _{2},t)}$；

其中，${\displaystyle \nabla _{2}}$是對於變向量${\displaystyle \mathbf {X} _{2}}$的偏微分。

應用斯托克斯公式，可以得到

${\displaystyle \Phi _{2}(t)=\int _{\mathbb {S} _{2}}[\nabla _{2}\times \mathbf {A} _{1}(\mathbf {X} _{2},t)]\cdot \mathrm {d} \mathbf {a} _{2}=\oint _{\mathbb {C} _{2}}\mathbf {A} _{1}(\mathbf {X} _{2},t)\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}_{2}}$。

磁向量勢${\displaystyle \mathbf {A} _{1}(\mathbf {X} _{2},t)}$的定義式為

${\displaystyle \mathbf {A} _{1}(\mathbf {X} _{2},t)\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {\mu _{0}i_{1}}{4\pi }}\oint _{\mathbb {C} _{1}}{\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}_{1}}{|\mathbf {X} _{2}-\mathbf {X} _{1}|}}}$。

磁通量與流動於閉合迴路1 ${\displaystyle \mathbb {C} _{1}}$的電流${\displaystyle i_{1}}$的關係式為

${\displaystyle \Phi _{2}(t)={\frac {\mu _{0}i_{1}}{4\pi }}\oint _{\mathbb {C} _{1}}\oint _{\mathbb {C} _{2}}{\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}_{1}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}_{2}}{|\mathbf {X} _{2}-\mathbf {X} _{1}|}}}$。

所以，互感為

${\displaystyle M_{21}={\frac {\mathrm {d} \Phi _{2}}{\mathrm {d} i_{1}}}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\oint _{\mathbb {C} _{1}}\oint _{\mathbb {C} _{2}}{\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}_{1}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}_{2}}{|\mathbf {X} _{2}-\mathbf {X} _{1}|}}}$。

這方程式稱為紐曼公式（）。注意到對換閉合迴路${\displaystyle \mathbb {C} _{1}}$與${\displaystyle \mathbb {C} _{2}}$不會改變結果，${\displaystyle M_{21}=M_{12}}$，因此，可以以變數${\displaystyle M}$統一代表。

類似地，穿過閉合迴路1的磁通量${\displaystyle \Phi _{1}(t)}$為

${\displaystyle \Phi _{1}(t)={\frac {\mu _{0}i_{1}}{4\pi }}\oint _{\mathbb {C} _{1}}\oint _{\mathbb {C} '_{1}}{\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}_{1}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}'_{1}}{|\mathbf {X} _{1}-\mathbf {X} '_{1}|}}}$。

除去所有下標，令${\displaystyle \mathbb {C} }$、${\displaystyle \mathbb {C} '}$代表同一閉合迴路，自感以方程式表示為

${\displaystyle L={\frac {\mathrm {d} \Phi }{\mathrm {d} i}}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\oint _{\mathbb {C} }\oint _{\mathbb {C} '}{\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}'}{|\mathbf {X} -\mathbf {X} '|}}}$。

當${\displaystyle \mathbf {X} _{1}=\mathbf {X} '_{1}}$時，這積分可能會發散，需要特別加以處理。另外，若假設閉合迴路為無窮細小，則在閉合迴路附近，磁場會變得無窮大，磁通量也會變得無窮大，所以，必須給予閉合迴路有限尺寸，設定其截面半徑${\displaystyle r_{0}}$超小於徑長${\displaystyle \ell _{0}}$，

有很多種方法可以化解這困難。例如，令${\displaystyle \mathbb {C} }$為閉合迴路的中心曲軸，令${\displaystyle \mathbb {C} '}$為閉合迴路的表面，則${\displaystyle \mathbf {X} _{1}\neq \mathbf {X} '_{1}}$，這積分就不會發散了[4]。

耦合係數為描述電感之間互感量與自感量的相對大小，兩電感器的耦合係數定義為

${\displaystyle k={\frac {M}{\sqrt {L_{1}L_{2}}}}}$；

其中${\displaystyle k}$為耦合係數，無單位；${\displaystyle M}$為兩電感的互感值，${\displaystyle L_{1},L_{2}}$分別為兩電感器的自感值。

將前面論述加以推廣，思考${\displaystyle K}$條閉合迴路，設定第${\displaystyle k}$條閉合迴路的捲繞匝數為${\displaystyle N_{k}}$，載有電流${\displaystyle i_{k}}$，則其磁鏈${\displaystyle N_{k}\Phi _{k}}$為

${\displaystyle N_{k}\Phi _{k}=\sum _{n=1}^{K}L_{k,n}i_{n}}$；

其中，${\displaystyle \Phi _{k}}$是穿過第${\displaystyle k}$條閉合迴路的磁通量，${\displaystyle L_{k,k}=L_{k}}$是自感，${\displaystyle L_{k,n}=M_{k,n},k\neq n}$是互感。

由於第${\displaystyle n}$條閉合迴路對於磁通量${\displaystyle \Phi _{k}}$的總貢獻是捲繞匝數乘以電流，即${\displaystyle N_{n}i_{n}}$，所以，${\displaystyle L_{k,n}}$與乘積${\displaystyle N_{k}N_{n}}$成正比。

從法拉第電磁感應定律，可以得到

${\displaystyle v_{k}=-{\mathcal {E}}_{k}=N_{k}{\frac {\mathrm {d} \Phi _{k}}{\mathrm {d} t}}=\sum _{n=1}^{K}L_{k,n}{\frac {\mathrm {d} i_{n}}{\mathrm {d} t}}=L_{k}{\frac {\mathrm {d} i_{k}}{\mathrm {d} t}}+\sum _{n=1,\ n\neq k}^{K}M_{k,n}{\frac {\mathrm {d} i_{n}}{\mathrm {d} t}}}$；

其中，${\displaystyle v_{k}}$是第${\displaystyle k}$條閉合迴路的感應電壓。

第${\displaystyle k}$條閉合迴路的電功率${\displaystyle p_{k}}$為

${\displaystyle p_{k}=i_{k}v_{k}}$。

假設原先所有電流為零，即${\displaystyle i_{1}=i_{2}=\dots =i_{K}=0}$ , 儲存於所有閉合迴路的總磁能為${\displaystyle 0}$。現在，將第一條閉合迴路的電流${\displaystyle i_{1}}$平滑地從${\displaystyle 0}$增加到${\displaystyle I_{1}}$，同時保持其它閉合迴路的電流不變，則儲存於第一條閉合迴路的磁能${\displaystyle W_{1}}$為

${\displaystyle W_{1}=\int i_{1}v_{1}\mathrm {d} t=\int _{0}^{I_{1}}i_{1}L_{1}\mathrm {d} i_{1}={\frac {1}{2}}L_{1}I_{1}^{2}}$。

然後，將第二條閉合迴路的電流${\displaystyle i_{2}}$平滑地從${\displaystyle 0}$增加到${\displaystyle I_{2}}$，同時保持其它閉合迴路的電流不變，則儲存於第二條閉合迴路的磁能${\displaystyle W_{2}}$為

${\displaystyle W_{2}=\int i_{2}v_{2}\mathrm {d} t=\int _{0}^{I_{2}}i_{2}L_{2}\mathrm {d} i_{2}+\int _{0}^{I_{2}}I_{1}M_{1,2}\mathrm {d} i_{2}={\frac {1}{2}}L_{2}I_{2}^{2}+M_{1,2}I_{1}I_{2}}$。

案照這方法繼續地計算，儲存於第${\displaystyle k}$條閉合迴路的磁能${\displaystyle W_{k}}$為

${\displaystyle W_{k}=\int i_{k}v_{k}\mathrm {d} t=\int _{0}^{I_{k}}i_{k}L_{k}\mathrm {d} i_{k}+\sum _{n=1}^{k-1}\int _{0}^{I_{k}}I_{n}M_{n,k}\mathrm {d} i_{k}={\frac {1}{2}}L_{k}I_{k}^{2}+\sum _{n=1}^{k-1}M_{n,k}I_{n}I_{k}}$。

所以，當每一個閉合迴路的電流都平滑地增加到其最終電流之後，儲存於所有閉合迴路的總磁能${\displaystyle W}$為[5]

${\displaystyle W={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{K}L_{k}I_{k}^{2}+\sum _{k=1}^{K}\sum _{n=1}^{k-1}M_{n,k}I_{n}I_{k}={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{K}L_{k}I_{k}^{2}+{\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{K}\sum _{n=1,n\neq k}^{K}M_{n,k}I_{n}I_{k}}$。

假設將${\displaystyle I_{n}}$與${\displaystyle I_{k}}$的數值交換，總磁能${\displaystyle W}$不會改變。滿足可積分條件${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}{W}}{\partial I_{n}\partial I_{k}}}={\frac {\partial ^{2}{W}}{\partial I_{k}\partial I_{n}}}}$，必需要求${\displaystyle L_{k,n}=L_{n,k}}$成立。所以，電感矩陣${\displaystyle L_{k,n}}$是個對稱矩陣。

從物理角度來看，上述增加電流方法並不是唯一方法，還有其它很多種增加電流方法。由於能量守恆，沒有任何耗散能量。所以，不論選擇哪一種方法，只要每一條閉合迴路的電流增加到其最終電流，則儲存的總磁能都相等。

如右圖所示，${\displaystyle n}$個電感器串聯的等效電感${\displaystyle L_{eq}}$為

${\displaystyle L_{eq}=L_{1}+L_{2}+\cdots +L_{n}}$。

將${\displaystyle n}$個電感器串聯在一起，並在這個串聯電路的兩端加上電源。按照電感的定義，第${\displaystyle k}$個電感器兩端的電壓${\displaystyle v_{k}}$等於其電感${\displaystyle L_{k}}$乘以通過的電流的變率${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} i_{k}}{\mathrm {d} t}}}$：

${\displaystyle v_{k}=L_{k}{\frac {\mathrm {d} i_{k}}{\mathrm {d} t}}}$；

按照克希荷夫電流定律，從電源（直流電或交流電）給出的電流${\displaystyle i}$等於通過每一個電感器的電流${\displaystyle i_{k}}$。所以，

${\displaystyle i=i_{1}=i_{2}=\cdots =i_{n}}$；

根據克希荷夫電壓定律，電源兩端的電壓等於所有電感器兩端的電壓的代數和：

${\displaystyle v=v_{1}+v_{2}+\cdots +v_{n}=L_{1}{\frac {\mathrm {d} i_{1}}{\mathrm {d} t}}+L_{2}{\frac {\mathrm {d} i_{2}}{\mathrm {d} t}}+\cdots +L_{n}{\frac {\mathrm {d} i_{n}}{\mathrm {d} t}}=(L_{1}+L_{2}+\cdots +L_{n}){\frac {\mathrm {d} i}{\mathrm {d} t}}}$；

所以，${\displaystyle n}$個電感器串聯的等效電感${\displaystyle L_{eq}}$為

${\displaystyle L_{eq}=L_{1}+L_{2}+\cdots +L_{n}}$。

由於電感器產生的磁場會與其鄰近電感器的纏繞線圈發生耦合，很難避免緊鄰的電感器彼此互相影響。物理量互感${\displaystyle M}$能夠給出對於這影響的衡量。

例如，由電感分別為${\displaystyle L_{1}}$、${\displaystyle L_{2}}$，互感為${\displaystyle M}$的兩個電感器構成的串聯電路，其等效互感${\displaystyle L_{eq}}$有兩種可能：

• 假設兩個電感器分別產生的磁場或磁通量，其方向相同，則稱為「串聯互助」，其等效電感

${\displaystyle L_{eq}=L_{1}+L_{2}+2M}$。

• 假設兩個電感器分別產生的磁場或磁通量，其方向相反，則稱為「串聯互消」，其等效電感

${\displaystyle L_{eq}=L_{1}+L_{2}-2M}$。

對於具有三個或三個以上電感器的串聯電路，必需考慮到每個電感器自己本身的自感和電感器與電感器之間的互感，這會使得計算更加複雜。等效電感是所有自感與互感的代數和。 例如，由三個電感器構成的串聯電路，會涉及三個自感和六個互感。三個電感器的自感分別為${\displaystyle M_{11}}$、${\displaystyle M_{22}}$、${\displaystyle M_{33}}$；互感分別為${\displaystyle M_{12}}$、${\displaystyle M_{13}}$、${\displaystyle M_{23}}$、${\displaystyle M_{21}}$、${\displaystyle M_{31}}$、${\displaystyle M_{32}}$。等效電感為

${\displaystyle L_{eq}=(M_{11}+M_{22}+M_{33})+(M_{12}+M_{13}+M_{23})+(M_{21}+M_{31}+M_{32})}$。

由於任意兩個電感器彼此之間的互感相等，${\displaystyle M_{ij}}$ = ${\displaystyle M_{ji}}$，後面兩組互感可以合併：

${\displaystyle L_{eq}=(M_{11}+M_{22}+M_{33})+2(M_{12}+M_{13}+M_{23})}$。

串聯互助電路圖。

串聯互消電路圖。

如右圖所示，兩個電感器串聯互助在一起。將電源連接於這串聯電路的兩端。應用克希荷夫電壓定律，按照點規定，可以得到

${\displaystyle -v+L_{1}{\frac {\mathrm {d} i}{\mathrm {d} t}}+M{\frac {\mathrm {d} i}{\mathrm {d} t}}+L_{2}{\frac {\mathrm {d} i}{\mathrm {d} t}}+M{\frac {\mathrm {d} i}{\mathrm {d} t}}=0}$；

其中，${\displaystyle v}$是電源兩端的電壓，${\displaystyle i}$是電流。

電壓${\displaystyle v}$和電流${\displaystyle i}$之間的關係為

${\displaystyle v=(L_{1}+L_{2}+2M){\frac {\mathrm {d} i}{\mathrm {d} t}}}$；

所以，兩個電感器串聯互助的等效電感為

${\displaystyle L_{eq}=L_{1}+L_{2}+2M}$。

以類似的作法，也能得到兩個電感器串聯互消的等效電感。

如右圖所示，${\displaystyle n}$個電感器並聯在一起，類似前面所述方法，可以計算出其等效電感${\displaystyle L_{eq}}$為

${\displaystyle {\frac {1}{L_{eq}}}={\frac {1}{L_{1}}}+{\frac {1}{L_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{L_{n}}}}$。

由於電感器產生的磁場會與其鄰近電感器的纏繞線圈發生耦合，很難避免緊鄰的電感器彼此互相影響。物理量互感${\displaystyle M}$能夠給出對於這影響的衡量。上述方程式描述${\displaystyle n}$個電感器無互感並聯的理想案例。

由電感分別為${\displaystyle L_{1}}$、${\displaystyle L_{2}}$，互感為${\displaystyle M}$的兩個電感器構成的並聯電路，其等效互感${\displaystyle L_{eq}}$為[6]：

• 假設兩個電感器分別產生的磁場或磁通量，其方向相同，則稱為「並聯互助」，其等效電感

${\displaystyle L_{eq}={\frac {L_{1}L_{2}-M^{2}}{L_{1}+L_{2}-2M}}}$。

• 假設兩個電感器分別產生的磁場或磁通量，其方向相反，則稱為「並聯互消」，其等效電感

${\displaystyle L_{eq}={\frac {L_{1}L_{2}-M^{2}}{L_{1}+L_{2}+2M}}}$。

對於具有三個或三個以上電感器的並聯電路，必需考慮到每個電感器自己本身的自感和電感器與電感器之間的互感，這會使得計算更加複雜。

並聯互助電路圖。

並聯互消電路圖。

如右圖所示，兩個電感器並聯互助在一起。將電源連接於這並聯電路的兩端。應用克希荷夫電壓定律，按照點規定，可以得到

${\displaystyle -v+L_{1}{\frac {\mathrm {d} i_{1}}{\mathrm {d} t}}+M{\frac {\mathrm {d} i_{2}}{\mathrm {d} t}}=0}$；

${\displaystyle -v+L_{2}{\frac {\mathrm {d} i_{2}}{\mathrm {d} t}}+M{\frac {\mathrm {d} i_{1}}{\mathrm {d} t}}=0}$；

其中，${\displaystyle v}$是電源兩端的電壓，${\displaystyle i_{1}}$和${\displaystyle i_{2}}$分別是通過兩個支路的電流。

利用二元一次聯立方程組的克拉瑪公式，可得

${\displaystyle {\frac {di_{1}}{dt}}={\frac {v(L_{2}-M)}{L_{1}L_{2}-M^{2}}}}$；

${\displaystyle {\frac {di_{2}}{dt}}={\frac {v(L_{1}-M)}{L_{1}L_{2}-M^{2}}}}$；

根據克希荷夫電流定律，${\displaystyle i=i_{1}+i_{2}}$，因此

${\displaystyle {\frac {di}{dt}}={\frac {di_{1}}{dt}}+{\frac {di_{2}}{dt}}={\frac {v(L_{1}+L_{2}-2M)}{L_{1}L_{2}-M^{2}}}}$；

可得電壓${\displaystyle v}$和電流${\displaystyle i}$之間的關係為

${\displaystyle v={\frac {L_{1}L_{2}-M^{2}}{L_{1}+L_{2}-2M}}\ {\frac {\mathrm {d} i}{\mathrm {d} t}}}$；

所以，兩個電感器並聯互助的等效電感為

${\displaystyle L_{eq}={\frac {L_{1}L_{2}-M^{2}}{L_{1}+L_{2}-2M}}}$。

以類似的作法，也能得到兩個電感器並聯互消的等效電感。