自由黎曼氣體

考虑一个无相互作用的全同玻色子构成的量子系统。假设每个粒子有可列多个分立能级：

${\displaystyle \epsilon _{1}<\epsilon _{2}<\epsilon _{3}...}$，且：

${\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3}...}$是与之对应的湮灭算子。则真空态${\displaystyle |\Omega \rangle }$和所有粒子态：

${\displaystyle |k_{1},k_{2},k_{3}...\rangle \equiv (a_{1}^{\dagger })^{k_{1}}(a_{2}^{\dagger })^{k_{2}}...|\Omega \rangle }$，${\displaystyle k_{i}\in \mathbb {N} }$

张成了态空间的一组正交基。令：

${\displaystyle p_{1}<p_{2}<p_{3}...}$

为全体素数的构成的升序列。则如下的映射：

${\displaystyle |k_{1},k_{2},k_{3}...\rangle \mapsto N\equiv p_{1}^{k_{1}}p_{2}^{k_{2}}p_{3}^{k_{3}}...}$

是这组正交基到正整数的双射，后者由因数分解的唯一性保证。因此，系统的任意粒子态都可以用正整数唯一标记。在数学文献中，这种标记方法被称为哥德尔编号。[1][2]

上述素数子气体模型可以自然地推广到超对称的情形。在超对称模型中，每个玻色场的湮灭算子都存在一个与之对应的费米场的湮灭算子；令后者为：

${\displaystyle f_{1},f_{2},f_{3}...}$

如此，该模型的粒子态具有如下形式：

${\displaystyle |k_{1},k_{2},k_{3}...l_{1},l_{2},l_{3}...\rangle \equiv (a_{1}^{\dagger })^{k_{1}}(a_{2}^{\dagger })^{k_{2}}...(f_{1}^{\dagger })^{l_{1}}(f_{2}^{\dagger })^{l_{2}}...|\Omega \rangle }$，${\displaystyle k_{i}\in \mathbb {N} }$，${\displaystyle l_{i}\in \{0,1\}}$

由于泡利不相容原理，每个费米场此时，每个粒子态可以利用如下定义的两个正整数标记：

${\displaystyle N\equiv p_{1}^{k_{1}+l_{1}}p_{2}^{k_{2}+l_{2}}p_{3}^{k_{3}+l_{3}}...}$

${\displaystyle d\equiv p_{1}^{l_{1}}p_{2}^{l_{2}}p_{3}^{l_{3}}...}$

类似地，任意一个正整数${\displaystyle N}$和${\displaystyle N}$的任何一个不含平方数因数的因数${\displaystyle d}$构成的数对${\displaystyle (N,d)}$唯一决定了该模型中的一个粒子态。其中，粒子态的能量仅由${\displaystyle N}$决定，而其自旋统计性质仅取决于${\displaystyle d}$。

注意到如此构建的粒子态恰好为算子${\displaystyle (-1)^{\hat {F}}}$的本征态：

${\displaystyle (-1)^{\hat {F}}|N,d\rangle =\mu (d)|N,d\rangle }$

其中函数${\displaystyle \mu (d)}$满足：

${\displaystyle \mu (d)=+1}$，若${\displaystyle d}$的素因子数目为偶；

${\displaystyle \mu (d)=-1}$，若${\displaystyle d}$的素因子数目为奇。

因此${\displaystyle \mu (d)}$为默比乌斯函数。[2]

量子场论与素数理论的这种关联可以进一步地抽象为拓扑量子场论与K理论的关联。为实现这一目的，可将素数推广为素理想。