素數定理

定義 π(x) 為素数计数函数，也就是小於等於x 的質數個數。例如 π(10)=4，因為共有 4 個質數小於等於 10，分別是 2、3、5、7。質數定理的敘述為：當 x 趨近無限，π(x) 和 ${\displaystyle {\frac {x}{\ln x}}}$ 的比值趨近 1。其數學式寫做

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\;\pi (x)\;}{\frac {x}{\ln(x)}}}=1}$。

淺白的說，當 x 很大的時候，π(x) 差不多等於 ${\displaystyle {\frac {x}{\ln x}}}$。該定理被認為是質數的漸進分布定律，以漸進符號可簡化為

${\displaystyle \pi (x)\sim {\frac {x}{\ln x}}}$。

注意到，上式並不是說指隨著 x 趨近無限，${\displaystyle \pi (x)}$ 與 ${\displaystyle {\frac {x}{\ln x}}}$的差趨近於 0。而是隨著 x 趨近無限，${\displaystyle \pi (x)}$ 與 ${\displaystyle {\frac {x}{\ln x}}}$的相對誤差趨近於 0。

因此，質數定理也可以被想像成描述從正整數中抽到素数的概率：從不大於 n 的正整數中隨機選出一個數，它是素数的概率大約是${\displaystyle {\frac {1}{\ln n}}}$。

質數定理有一個等價數是關於第 n 個素数 ${\displaystyle p_{n}}$的漸近估計式

${\displaystyle p_{n}\sim n\ln \,n}$

下表比較了π(x)，x/ln x和Li(x)：

${\displaystyle x}$	${\displaystyle {\boldsymbol {\pi }}(x)}$[1]	${\displaystyle {\boldsymbol {\pi }}(x)-{\frac {x}{\ln x}}}$[2]	${\displaystyle {\frac {{\boldsymbol {\pi }}(x)}{\frac {x}{\ln x}}}}$	${\displaystyle {\rm {Li}}(x)-{\boldsymbol {\pi }}(x)}$[3]	${\displaystyle {\frac {x}{{\boldsymbol {\pi }}(x)}}}$
10	4	−0.3	0.921	2.2	2.500
102	25	3.3	1.151	5.1	4.000
103	168	23	1.161	10	5.952
104	1,229	143	1.132	17	8.137
105	9,592	906	1.104	38	10.425
106	78,498	6,116	1.084	130	12.740
107	664,579	44,158	1.071	339	15.047
108	5,761,455	332,774	1.061	754	17.357
109	50,847,534	2,592,592	1.054	1,701	19.667
1010	455,052,511	20,758,029	1.048	3,104	21.975
1011	4,118,054,813	169,923,159	1.043	11,588	24.283
1012	37,607,912,018	1,416,705,193	1.039	38,263	26.590
1013	346,065,536,839	11,992,858,452	1.034	108,971	28.896
1014	3,204,941,750,802	102,838,308,636	1.033	314,890	31.202
1015	29,844,570,422,669	891,604,962,452	1.031	1,052,619	33.507
1016	279,238,341,033,925	7,804,289,844,393	1.029	3,214,632	35.812
1017	2,623,557,157,654,233	68,883,734,693,281	1.027	7,956,589	38.116
1018	24,739,954,287,740,860	612,483,070,893,536	1.025	21,949,555	40.420
1019	234,057,667,276,344,607	5,481,624,169,369,960	1.024	99,877,775	42.725
1020	2,220,819,602,560,918,840	49,347,193,044,659,701	1.023	222,744,644	45.028
1021	21,127,269,486,018,731,928	446,579,871,578,168,707	1.022	597,394,254	47.332
1022	201,467,286,689,315,906,290	4,060,704,006,019,620,994	1.021	1,932,355,208	49.636
1023	1,925,320,391,606,803,968,923	37,083,513,766,578,631,309	1.020	7,250,186,216	51.939
1024	18,435,599,767,349,200,867,866	339,996,354,713,708,049,069	1.019	17,146,907,278	54.243
1025	176,846,309,399,143,769,411,680	3,128,516,637,843,038,351,228	1.018	55,160,980,939	56.546
OEIS	A006880	A057835		A057752

1797年至1798年間，法國數學家勒讓德根據上述的質數表猜測，${\displaystyle \pi (x)}$大約等於 ${\displaystyle {\frac {x}{A\ln x+B}}}$，其中${\displaystyle A}$、${\displaystyle B}$是未知的函數。勒讓德於1808年出版一本關於數論的書的第二版，書中他給出更精確的猜測：${\displaystyle A=1}$，${\displaystyle B=-1.08366}$。根據高斯自己在1849年的回憶，他在15歲或16歲(1792或1793年)的時候就已經考慮過類似的問題了[4]。1832年，狄利克雷經過跟高斯的交流之後，給出了一個新的逼近函數 ${\displaystyle li(x)}$，(事實上他是用一個有點不一樣的級數表達式)。勒讓德和狄利克雷的式子皆等價於現在的版本，但如果考慮逼近式與 ${\displaystyle \pi (x)}$ 的差，而不是比值的話，狄利克雷的式子是準確許多的。

俄國數學家切比雪夫參考了歐拉在1731年的工作，引進了定義在實數軸上黎曼ζ函數，企圖證明質數分布的漸進式，並將他所得到的結果寫成兩篇論文，分別在1848和1850年發表。切比雪夫可以證明，如果${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\;\pi (x)\;}{\frac {x}{\ln(x)}}}}$存在且有限，則它一定是1[5]。此外，在沒有假設任何結果之下，他也證明當 x 足夠大，${\displaystyle {\frac {\;\pi (x)\;}{\frac {x}{\ln(x)}}}}$會界在兩個很靠近 1 的數字之間[6]。雖然切比雪夫的論文沒辦法證明質數定理，但它對 ${\displaystyle \pi (x)}$ 已經可以推論出伯特蘭-切比雪夫定理：對任何大於${\displaystyle 1}$的正整數${\displaystyle n}$，存在一個質數介於${\displaystyle n}$和${\displaystyle 2n}$之間。

1859年，黎曼提交了一篇關於質數分布的非常重要的報告《論小於給定數值的質數個數》，這也是黎曼在這個領域的唯一一篇文章。黎曼在報告中使用了創新的想法，將${\displaystyle \zeta }$函數的定義解析延拓到整個複數平面，並且將質數的分布與${\displaystyle \zeta }$函數的零點緊密的聯繫起來。因此，這篇報告是歷史上首次用複分析的方法研究實函數 ${\displaystyle \pi (x)}$。1896年法國數學家雅克·阿達馬和比利時數學家夏尔-让·德拉瓦莱·普桑先後獨立給出證明。兩個證明延著黎曼的思路繼續拓展，且都使用複分析的工具，其中的關鍵步驟是證明如果複數${\displaystyle s}$可以寫成 ${\displaystyle 1+it}$ 的形式，且 ${\displaystyle t>0}$，則 ${\displaystyle \zeta (s)\neq 0}$[7]。

進入20世紀之後，阿達馬和普桑證明的定理經常被稱作質數定理，定理的其他不同證明也陸陸續續被發現，這之中包括1949年阿特勒·塞爾伯格和艾狄胥·帕爾發現的「初等證明」。原本的證明是既冗長，又複雜，於是有很多後面發現的證明使用了陶伯定理讓證明變得比較簡短，但卻變得讓人比較難以消化。1980年，美國數學家唐納德·J·紐曼發現了一個簡潔的證明[8][9]，這可能是目前已知最簡單的證明。不過，證明中使用了柯西積分公式，因此一般不被視為是為初等的證明。

因為黎曼ζ函數與${\displaystyle \pi (x)}$關係密切，關於黎曼${\displaystyle \zeta }$函數的黎曼猜想對數論很重要。一旦猜想獲證，便能大大改進素数定理誤差的估計。1901年瑞典數學家海里格·馮·科赫證明出，假設黎曼猜想成立，以上關係式誤差項的估計可改進為

${\displaystyle \pi (x)={\rm {Li}}(x)+O\left({\sqrt {x}}\ln \,x\right)}$

至於大O項的常數則還未知道。

素数定理有些初等證明只需用數論的方法。第一個初等證明於1949年由匈牙利數學家保羅·艾狄胥和挪威數學家阿特利·西爾伯格合作得出。

在此之前一些數學家不相信能找出不需借助艱深數學的初等證明。像英國數學家哈代便說過素数定理必須以複分析證明，顯出定理結果的「深度」。他認為只用到實數不足以解決某些問題，必須引進複數來解決。

• 抽象解析数论
• 切比雪夫函數─與質數定理密切相關的函數
• 質數計數函數