對偶多面體

在歐幾里得空間中，多面體${\displaystyle P}$的對偶多面體可以基於一個已知的球之極點與極線互換來定義。在這個定義下，多面體的每個頂點（極點）都與一個平面（極平面）相關聯，每個頂點都在一個平面之上，使得由中心向頂點的射線都和平面垂直，且中心和每點的距離的平方等於半徑的平方[5][6]。

若球體的半徑為${\displaystyle r}$且幾何中心位於原點（此時球的方程式可以寫為${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}}$），則多面體${\displaystyle P}$的極點對偶可以定義為：

${\displaystyle P^{\circ }=\{q~{\big |}~q\cdot p\leq r^{2}}$ for all ${\displaystyle p}$ in ${\displaystyle P\},}$

其中，${\displaystyle q\cdot p}$表示${\displaystyle q}$和${\displaystyle p}$的內積。

若多面體${\displaystyle P}$的面之方程式為：

${\displaystyle x_{0}x+y_{0}y+z_{0}z=r^{2}}$

則對應對偶多面體${\displaystyle P^{\circ }}$的頂點座標為${\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})}$。類似地，所有${\displaystyle P}$的頂點也可以用同樣的方式表達為${\displaystyle P^{\circ }}$的面。

相應的對偶多面體的頂點就是原來多面體的面的對應，而對偶多面體的面就是原來多面體的頂點的對應。另外，相鄰頂點定義出的棱能對應出兩個相鄰面，這些面的相交線亦定義出對偶多面體的一條棱。

對於具有對稱中心的多面體，取對偶所用的球體通常使用以該點為球心的球體，如多爾曼盧克構造（下文提到）。如果多面體無對稱中心，但有外接球、內切球或中分球，那麼這個多面體也有以使用這個方法來取對偶。而取對偶時也可以使用任意球體，由此產生的對偶多面體形式將取決於球體的大小和位置，隨著球體的變化，對偶多面體形式也會隨之變化。

這個對偶的概念和射影幾何中的對偶相關。