中分球

三維凸多面體的中分球定義為與多面體的每條邊相切的球體。也就是說，每條邊都恰好與該球交於一點，而沒有邊的線段「穿過球體」的情況發生。此時，這個球體與多面體之面相交的部分恰好為該面的內切圓。[5] 當中分球存在時，它是唯一的。並非每個凸多面體都有中分球；有中分球的多面體每個面都必須有一個內切圓（即這個多面體每個面必須都是圓外切多邊形），並且這些內切圓共球，也就是它們都同屬於一個球體。例如，長方體[註 1]僅有當所有邊等長變為立方體時才具有中分球，否則邊不等長的長方體，其矩形面不存在內切圓。[6]

幾何中心位於笛卡爾座標系原點的单位立方体，其八個頂點為${\textstyle (\pm {\tfrac {1}{2}},\pm {\tfrac {1}{2}},\pm {\tfrac {1}{2}})}$，邊的中點與原點的距離為${\displaystyle 1/{\sqrt {2}}}$。因此這個立方體的中分球以原點為中心，半徑為${\textstyle 1/{\sqrt {2}}}$。這個半徑大於其內切球半徑${\textstyle {\tfrac {1}{2}}}$，並小於外接球半徑${\textstyle {\sqrt {3/4}}}$。更一般地，任何邊長為${\displaystyle \ell }$的柏拉圖立體，其中分球半徑為[7]：

• ${\displaystyle {\tfrac {1}{2{\sqrt {2}}}}\ell }$（正四面體）
• ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\ell }$（正八面體）
• ${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\ell }$（立方體）
• ${\displaystyle {\tfrac {\varphi }{2}}\ell }$（正二十面體，其中${\displaystyle \varphi }$為黃金比例）
• ${\displaystyle {\tfrac {\varphi ^{2}}{2}}\ell }$（正十二面體）

凸均勻多面體，包括凸正多面體、擬正多面體和半正多面體及其對偶多面體都具有中分球。在凸正多面體中，內切球、中分球和外接球都存在且同心[8]，其中分球與凸正多面體每條邊的中點相切。[9]

四個成對的相切球體的中心形成克雷爾四面體（Crelle's tetrahedra）的頂點。此處，四個相等的球體形成一個正四面體。中分球穿過這些球體的六個切點，在這種情況下形成正八面體

並非所有不規則四面體都具有中分球。存在中分球的四面體稱為「克雷爾四面體」（Crelle's tetrahedra）；其形成所有四面體之六維空間中的一個四維子集（由它們的六個邊長參數化）。更精確地說，克雷爾四面體的四個頂點來自四個相互外切的球之球心。在這種情況下，四面體的六個邊長是這四個球體半徑的兩兩之和。[11] 這種四面體的中分球與四面體邊相切的點為四個生成球體中的兩個球體彼此相切且垂直於所有四個生成球體的點。[12]

• 內切球
• 外接球