良擬序

良基歸納法可用於任何良基關係上，用以證明某集的全部元素皆具某性質。所以，或許會考慮某擬序是否良基[註 3]。不過，良基擬序的類，對某些運算不封閉，即由某良基擬序出發，經若干運算，構造而成的新擬序，不一定良基。欲使新擬序仍為良基，原擬序需追加若干限制。

以冪集運算為例。給定集合${\displaystyle X}$上的擬序${\displaystyle \leq }$，可以定義冪集${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$上的擬序${\displaystyle \leq ^{+}}$，使${\displaystyle A\leq ^{+}B}$當且僅當對${\displaystyle A}$的每個元素，皆可在${\displaystyle B}$中找到元素大於等於該元素。可以證明${\displaystyle \leq ^{+}}$不必良基，但若原擬序為良擬序，則冪集的擬序確實良基。[3]^:116

集合${\displaystyle X}$上的良擬序（）是一種预序关系（即滿足自反性${\displaystyle x\leq x}$、传递性${\displaystyle x\leq y\wedge y\leq z\implies x\leq z}$的的二元關係${\displaystyle \leq }$），使得${\displaystyle X}$中任意无穷序列${\displaystyle x_{0},x_{1},x_{2},\ldots }$，皆有先後兩項${\displaystyle x_{i}\leq x_{j}}$（${\displaystyle i<j}$）遞增。若有此種良擬序，則${\displaystyle X}$本身稱為良擬序集（），簡寫為。[1]^:210–211

良偏序（）既是良擬序又是偏序，即除前述條件外，尚具反對稱性${\displaystyle x\leq y\wedge y\leq x\implies x=y}$。

良擬序有其他等價定義，如將條件改為既不含無窮嚴格遞減序列${\displaystyle x_{0}>x_{1}>x_{2}>\cdots }$[註 2]，又不含任意兩項不可比的無窮序列。換言之，擬序${\displaystyle (X,\leq )}$為良擬序當且僅當${\displaystyle (X,<)}$良基，且不含無窮反链。（與§ 無窮遞增子序列的拉姆齊論證相似。）[1]^:211

• 給定擬序${\displaystyle (X,\leq )}$，在冪集上有另一擬序${\displaystyle ({\mathcal {P}}(X),\leq ^{+})}$，其中${\displaystyle A\leq ^{+}B\iff \forall a\in A,\exists b\in B,a\leq b}$。此關係為良基當且僅當${\displaystyle (X,\leq )}$本身是。[3]^:116
• 給定良擬序${\displaystyle (X,\leq )}$，若有一列子集${\displaystyle S_{0}\subseteq S_{1}\subseteq \cdots \subseteq X}$，其中每個子集皆向上封閉[註 4]，則該序列終必恆定，即自某個${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$起，以後各項${\displaystyle S_{n}=S_{n+1}=\cdots }$。假若不然，則對每個${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$，存在${\displaystyle \exists j>i}$使${\displaystyle S_{j}\setminus S_{i}}$非空，從中選一個元素，如此可得某個無窮序列，其無遞增的兩項。
• 給定良擬序${\displaystyle (X,\leq )}$，${\displaystyle X}$的任何子集${\displaystyle S}$關於${\displaystyle \leq }$僅得有限多個極小元，否則該些極小元組成無窮反鏈。

圖一：整數的平常順序

圖二：自然數按整除序的哈斯圖

圖三：格網${\displaystyle \mathbb {N} ^{2}}$逐分量排序的哈斯圖

• ${\displaystyle (\mathbb {N} ,\leq )}$，自然數集配備平常的大小序，是良偏序，乃至良序。不過，若允許負數，換成整數集的大小序${\displaystyle (\mathbb {Z} ,\leq )}$，則並非良擬序，因為此大小關係並非良基：負數組成無遞增兩項的序列。（圖一）
• ${\displaystyle (\mathbb {N} ,|)}$，自然數集按整除序，不是良擬序：質數兩兩不可比較，組成無窮反鏈。（圖二）
• ${\displaystyle (\mathbb {N} ^{k},\leq )}$，自然數${\displaystyle k}$元組的集合逐分量排序[註 6]，是良偏序。此為迪克遜引理[5]（圖三）。更一般地，若${\displaystyle (X,\leq )}$為良擬序，則對任意正整數${\displaystyle k}$，積序${\displaystyle (X^{k},\leq ^{k})}$亦是良擬序。
• 設${\displaystyle X}$為有限集，且至少有兩個元素。克莱尼星号${\displaystyle X^{*}}$是字母取自${\displaystyle X}$的全體有限字串之集。按字典序，${\displaystyle X^{*}}$不是良擬序，因為有無窮遞降序列${\displaystyle b,ab,aab,aaab,\ldots }$。同樣，${\displaystyle X^{*}}$關於前綴關係亦非良擬序，因為前述序列在該偏序下是無窮反鏈。然而，${\displaystyle X^{*}}$倘按子序列關係排序，則是良偏序。[6]（在${\displaystyle X}$衹有一個元素的退化情況，此三種偏序完全一樣。）
• 推而廣之，以${\displaystyle (X,\leq )}$為字母集的有限串集${\displaystyle (X^{*},\leq )}$，按「嵌入」排序，如此組成良擬序當且僅當${\displaystyle (X,\leq )}$本身是良擬序，此結論稱為希格曼引理[7]。其中所謂字串${\displaystyle u}$可以嵌入到${\displaystyle v}$，意思是${\displaystyle v}$中有與${\displaystyle u}$等長的子序列，逐項大於等於${\displaystyle u}$。若取子母集為無序集${\displaystyle (X,=)}$，則字串${\displaystyle u\leq v}$當且僅當${\displaystyle u}$是${\displaystyle v}$的子序列，退化成前款情況。
• 相反，良擬序${\displaystyle (X,\leq )}$上的無窮序列集，記為${\displaystyle (X^{\omega },\leq )}$，按嵌入序，一般不為良擬序。換言之，希格曼引理不適用於無窮序列。數學家引入優擬序，以期望推廣希格曼引理。
• 以 ${\displaystyle (X,\leq )}$之元素標記頂點的有限樹全體，按嵌入排序，也是，即克魯斯克爾樹定理[1]。此處的樹有選定根節點，而嵌入的要求有三：某節點的子節點要映到該節點之像的後嗣；同節點的不同子節點，要映到該節點之像的不同子分支上；每個節點處的標記，小於等於其像的標記。
• 無窮樹之間的嵌入關係[註 7]是，由克里斯平·納許-威廉斯所證。[8][9]
• 可數全序類之間的嵌入關係是良擬序，同樣散佈[註 8]全序類之間亦然。（萊弗定理[10]）
• 可數布尔代数的嵌入序是良擬序，由萊弗定理證得。[11]^:98
• 有限圖按图子式序組成良擬序集。（羅伯遜-西摩定理）
• 對每個正整數${\displaystyle t}$，樹深至多為${\displaystyle t}$的圖，按导出子图序，組成良擬序集。亦可同上考慮以良擬序${\displaystyle (X,\leq )}$標記其頂點，並要求該導出子圖的嵌入映射，使每個頂點的像的標記皆大於等於原標記，仍得良擬序。[12]此外，補可約圖按導出子圖序，構成良擬序。[13]

字面上，良擬序較良偏序廣義，但基於以下觀察，兩者實際分別不大：[4]^:250一方面，必為。另一方面，若有某，則其各等價類[註 9]組成。舉例整數集${\displaystyle \mathbb {Z} }$的整除序是擬序${\displaystyle (\mathbb {Z} ,|)}$（但不是良擬序），其等價類形如${\displaystyle \{\pm m\}}$，所以等價類組成的偏序同構於${\displaystyle (\mathbb {N} ,|)}$。

據米爾納[2]，「考慮擬序，並不比偏序更為概括……僅是因為較方便。」又例如，在全序類的嵌入擬序中，開區間${\displaystyle (0,1)}$與閉區間${\displaystyle [0,1]}$不同構，但可互相嵌入，所以在對應偏序中屬同一等價類，托馬斯·福斯特稱該等價類「似乎不是很有啓發性」，而且，全體偏序集按包含關係組成的偏序類，雖然鏈完備，但並不完備，若改為考慮全體擬序集則不會有此問題。[3]^:112

• Kruskal, J. B. [良擬序論：常發現的概念]. Journal of Combinatorial Theory. Series A. 1972, 13 (3): 297–305. doi:10.1016/0097-3165(72)90063-5  （英语）.
• Ketonen, Jussi. [可數布爾代數的結構]. Annals of Mathematics. 1978, 108 (1): 41–89. JSTOR 1970929. doi:10.2307/1970929 （英语）.
• Gallier, Jean H. [克魯斯克爾定與與序數Γo有何特別？證明論若干結果的綜述]. Annals of Pure and Applied Logic. 1991, 53 (3): 199–260. doi:10.1016/0168-0072(91)90022-E  （英语）.