艾森斯坦判別法

給定多項式g(x) = 3x⁴ + 15x² + 10，試確定它能否分解為有理係數多項式之積。

試用艾森斯坦判別法。素數2和3都不適合，考慮素數p = 5。5整除x的係數15和常數項10，但不整除首項3。而且5² = 25不整除10。所以g(x)在有理數域不可約。

有時候不能直接用判別法，或者可以代入y = x + a後再使用。

例如考慮h(x) = x² + x + 2。這多項式不能直接用判別法，因為沒有素數整除x的係數1。但把h(x)代入為h(x + 3) = x² + 7x + 14，可立刻看出素數7整除x的係數和常數項，但7² = 49不整除常數項。所以有時通過代入便可以用到判別法。

艾森斯坦判別法得出的一個著名結果如下：

對素數p，p階分圓多項式

${\displaystyle {\frac {x^{p}-1}{x-1}}=x^{p-1}+x^{p-2}+\cdots +x+1}$

在有理數域不可約。

要使用艾森斯坦判別法，先作代換x = y + 1。新的常數項是p，除首項是1外，其他項的係數是二項式係數${\displaystyle {p \choose k}={\frac {p!}{k!(p-k)!}}}$，k大於0，所以可以被p除盡。

對多項式f(x)取模p，也就是把它的係數映射到有限體${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$上。這樣它便化為${\displaystyle c\,x^{n}}$，其中c為非零常數。因為在體上的多項式有唯一分解，f模p時會分解為單項式。

如果f是在有理數上可約的，那麼會有多項式g, h使得f = g h。從上可知g和h取模p分別為${\displaystyle d\,x^{k}}$和${\displaystyle e\,x^{n-k}}$，滿足c = d e。因為g和h模p的常數項為零，這表示g和h的常數項均可被p整除，所以f的常數項a₀可以被p²整除，與f係數的假設矛盾。因此得證。

依据牛顿图的理论在其p进制数域，我们考虑一系列点的下凸集。

(0,1), (1, v₁), (2, v₂), ..., (n − 1, v_n-1), (n,0),

其中v_i是a_i关于p的最高次幂。对于一个艾森斯坦多项式，对0 < i < n,v_i至少为1，v₀ =1 v_n =0，固而它的牛顿图即点列的下凸集应当是一条从(0,1) to (n,0)的线段，其斜率为−1/n。