艾狄胥-斯通定理

先定義極值函數（英語：）${\displaystyle \mathrm {ex} }$如下：${\displaystyle \mathrm {ex} (n;H)}$是眾多${\displaystyle n}$個頂點的圖之中，不包含子圖（同構於）${\displaystyle H}$的圖的邊數最大值。圖蘭定理斷言，當${\displaystyle H}$取為完全圖${\displaystyle K_{r}}$時，有${\displaystyle \mathrm {ex} (n;K_{r})=t_{r-1}(n)}$，即${\displaystyle n}$個頂點的${\displaystyle r-1}$部圖蘭圖的邊數，且僅得該圖蘭圖取到最大值。艾狄胥－斯通定理推廣到禁止${\displaystyle K_{r}(t)}$子圖的情況，即禁止各分部恰有${\displaystyle t}$個頂點的完全${\displaystyle r}$部圖（亦可記為圖蘭圖${\displaystyle T(rt,r)}$）：

${\displaystyle {\mbox{ex}}(n;K_{r}(t))=\left({\frac {r-2}{r-1}}+o(1)\right){n \choose 2}.}$

若${\displaystyle H}$為任意圖，色數為${\displaystyle r>2}$，則對於足夠大的${\displaystyle t}$，${\displaystyle H}$必為${\displaystyle K_{r}(t)}$的子圖（比如取${\displaystyle t}$大於${\displaystyle H}$的某個${\displaystyle r}$染色中，用得最多的顏色所用的次數），但${\displaystyle H}$並非圖蘭圖${\displaystyle T(n,r-1)}$的子圖，因為該圖蘭圖的任意子圖皆可${\displaystyle r-1}$染色。

由此可見，${\displaystyle H}$的極值函數至少為${\displaystyle T(n,r-1)}$的邊數，但至多為${\displaystyle K_{r}(t)}$的極值函數。所以，仍有

${\displaystyle {\mbox{ex}}(n;H)=\left({\frac {r-2}{r-1}}+o(1)\right){n \choose 2}.}$

然而，對於二部圖${\displaystyle H}$，定理給出的上界並非最優，因為已知當${\displaystyle H}$為二部圖時，${\displaystyle \mathrm {ex} (n;H)=o(n^{2})}$，不過對於一般二部圖的極值函數，仍然所知甚少，見扎蘭凱維奇問題。

定理亦有若干個定量版本已獲證，較確切刻劃${\displaystyle n,r,t}$與餘項${\displaystyle o(1)}$的關係。先對${\displaystyle 0<\varepsilon <1/(2(r-1))}$，定義[3]${\displaystyle s_{r,\varepsilon }(n)}$為最大的${\displaystyle t}$，使得子圖${\displaystyle K_{r}(t)}$能於任意具${\displaystyle n}$個頂點及

${\displaystyle \left({\frac {r-2}{2(r-1)}}+\varepsilon \right)n^{2}}$

條邊的圖中找到。

艾狄胥、斯通證明對充份大的${\displaystyle n}$，有

${\displaystyle s_{r,\varepsilon }(n)\geq \left(\log ^{r-1}n\right)^{1/2},}$

其中${\displaystyle \log ^{r-1}}$是對數函數的${\displaystyle r-1}$次疊代。${\displaystyle s_{r,\varepsilon }(n)}$的正確增長階數，由博洛巴什與艾狄胥找出：[4]固定${\displaystyle r,\varepsilon }$，則存在常數${\displaystyle c_{1}(r,\varepsilon )}$與${\displaystyle c_{2}(r,\varepsilon )}$使得

${\displaystyle c_{1}(r,\varepsilon )\log n<s_{r,\varepsilon }(n)<c_{2}(r,\varepsilon ).}$

赫瓦塔爾與塞邁雷迪[5]隨後確定${\displaystyle s_{r,\varepsilon }(n)}$如何隨${\displaystyle r}$和${\displaystyle \varepsilon }$變化（但可以差常數倍）：對充份大的${\displaystyle n}$，有

${\displaystyle {\frac {1}{500\log(1/\varepsilon )}}\log n<s_{r,\varepsilon }(n)<{\frac {5}{\log(1/\varepsilon )}}\log n.}$