二分图

• 一個圖是二分圖若且唯若它不包含奇環作為子圖[13]。
• 一個圖是二分圖若且唯若它的著色數是 2[3]。
• 一個圖是二分圖若且唯若它的谱是正負對稱的[14]。

柯尼希定理於1931年，由匈牙利數學家德內斯·柯尼希提出[15][16]：

一個圖是二分圖若且唯若它的最小頂點覆蓋的頂點數等於最大匹配的邊數。

該定理有一個等價形式，一個圖是二分圖若且唯若它的最大獨立集的頂點數與最大匹配的邊數之和，等於總頂點個數。再配合一個性質，一個沒有孤立頂點的圖會滿足最小邊覆蓋的邊數加上最大匹配的邊數等於總頂點個數[17]，我們有對任何沒有孤立頂點的二分圖，最小邊覆蓋的邊數等於最大獨立集的頂點數，以及最小邊覆蓋的邊數加上最小頂點覆蓋的頂點數等於總頂點數。

所有的二分圖和二分圖的線圖，以及它們的補圖都是完美圖。很明顯的，二分圖是完美圖，因為他的著色數和最大點團數皆為 2，但另一方面，二分圖的補圖的完美性是相對難以證明的，該性質等價於前面小節的倒數第二個敘述。類似的，二分圖的線圖的補圖的完美性等價於柯尼希定理的敘述，這也是會如此定義完美圖的動機之一[18]。而最後剩下的，是二分圖的線圖的完美性，而這個等價於柯尼希於早些年證明出的定理：二分圖的邊著色數等於最大度數。

強完美圖定理給出完美圖的等價條件：一個圖是完美圖若且唯若所有奇環和奇環的補圖都不是它的導出子圖。這個刻畫可與二分圖沒有奇環作為子圖類比，實際上，在強完美圖定理的證明中，二分圖、二分圖的線圖，以及它們的補圖佔了 5 個基本類型中的 4 個[19]。

一個頂點 v 的度數定義為以它為端點的邊數，記做 ${\displaystyle \deg(v)}$，很明顯的，對於二分圖 ${\displaystyle G=(U,V,E)}$，有以下的度數和公式

${\displaystyle \sum _{v\in V}\deg(v)=\sum _{u\in U}\deg(u)=|E|}$

一個二分圖的度數序列是兩個序列，分別列出 U 和 V 中各頂點的個數。例如完全二分圖 K_3,5 的度數序列是 (3,3,3,3,3) 和 (5,5,5)。同構的二分圖會有相同的度數序列，但一般而言，擁有相同度數序列的圖卻不一定是同構的。可二分圖化問題是給定兩個正整數序列，要尋找出一個二分圖使得它的度數序列是那兩個正整數序列。本問題中的序列中的 0 可以被忽略，因為那只是在為二分圖增加孤立頂點而已。

一個兩部分分別有 m 和 n 個頂點二分圖的雙相鄰矩陣是一個 ${\displaystyle m\times n}$(0,1) 矩陣，滿足如果兩個頂點相鄰，矩陣中的該行該列對應到的元素是 1，反之如果兩點不相鄰則對應到 0[20]。雙相鄰矩陣可以用來描述二分圖、超圖和有向圖的等價關係。

超圖的定義如同簡單圖，由頂點和邊組成，但是一個邊可以有超過兩個段點，因為一個邊被重新定義做頂點集合的一個子集合。可以用二分圖 (U,V,E) 來描述超圖，其中 U 是超圖的頂點集合，V 是超圖的邊集合，U、V 中的兩元素 u, v 有連邊若且唯若在超圖中，u 是 v 的一個段點。在這個對應之下，二分圖的雙相鄰矩陣等於它所對應到的超圖的關聯矩陣。特別的多重圖 (可能會有不同邊有相同的兩個端點) 可以被視為是超圖的特例，只是每個點都恰有兩個邊而已，根據上述，多重圖對應到的二分圖滿足 V 中的頂點度數皆為 2[21]。

類似的，所有有向圖 (允許兩端點相同的自環) 可以一對一對應到所有平衡二分圖，方法是將有向圖的 n 個頂點複製兩份，得到集合 U、V，U 中的頂點 u 有連邊到 V 中的頂點 v 若且為唯若在原本有向圖中，有一條邊從 u 出發指向 v。此時，有向圖的相鄰矩陣可以是任意 ${\displaystyle n\times n}$ 階 (0,1) 矩陣，而且會一對一對應到平衡二分圖的雙相鄰矩陣[22]。

霍尔定理（)表明了一个二分图G，X与Y分别是两个独立集。X能被Y匹配当且仅当${\displaystyle |N(S)|\geq |S|}$，其中S是X的任意子集。

霍尔定理给出了一种证明完美匹配是否存在的方式，该定理也常常被用于求解SDR问题（system of distinct representatives，不同代表问题）。

在SDR问题中，你拥有n个不同的集合，你需要为每个集合找到一个独特的代表元素。一个集合集拥有SDR当且仅当任意t个集合的并包含t个不同的元素。

霍尔定理有时也被称作霍尔婚姻定理（），用以解决男女的婚姻匹配问题。

給定一個圖，使用深度優先搜尋法，可以在線性時間內判斷它是否為二分圖，並輸出一個二著色 (若答案為是)，或是一個奇環 (若答案為否)。方法是先用深度優先搜尋法找出圖的一個深度優先搜尋森林 (各連通部分取一個深度優先搜尋樹)，這是圖的一個生成森林。接著運用樹的搜尋將森林二著色，也就是依序各頂點著和它的父節點相異的顏色。現在檢查原圖中深度優先搜尋森林以外的其他邊，如果所有邊的兩端點都不同顏色，則這也是原圖的一個二著色，並且輸出它；如果有一個邊 e 的兩端點相同顏色，則此兩端點在同一個連通部分，也就是在森林的同一棵樹上，找出在森林中，連接兩端點的路徑 P，因為 P 上的頂點的顏色是交錯出現的，因此 P 有偶數個頂點，加上 e 就形成一個奇環，並且輸出它[23]。

事實上，在上述的演算法中，深度優先搜尋森林只是作為一個生成森林，讓我們來著色。因此，用不同的方式獲得的別的生成森林仍然可以使演算法可以運作，例如，可以用廣度優先搜尋取出廣度優先搜尋森林[24]。

如果原圖是線段，或其他二維空間的物件，的交集圖，並且有 n 個頂點，則可以在 ${\displaystyle O(n\log n)}$時間內輸出一個二著色或奇環，縱使它的邊樹可能會高達 ${\displaystyle O(n^{2})}$[25]。

本圖有一個包含 2 個頂點的奇環代表系，把圖中的藍色頂點刪掉就可以把圖變成二分圖。

奇環代表系問題是一個NP完全問題，問給一個圖 G(V,E) 和一個正整數 k，是否可以刪掉 k 個頂點使得 G 變成一個二分圖[26]。這個問題是可定變數決定的 (FTP)，更精確地說，存在一個演算法所花費時間不超過一個 k 的函數乘上一個 n 的多項式[27]，其中 n 是G 的頂點數。奇環代表系這個名字是來自二分圖的一個等價特性：不存在奇環作為子圖。因此，要刪掉點使得 G 變成二分圖其實是在破壞所有的奇環，或者說找出所有奇環的代表系。在右圖的中，所有的奇環都包含一個藍色的頂點 (最下面那排的)，因此刪掉那兩個藍色頂點會把圖變成二分圖。

刪邊二分性問題則是問給定一個圖，至少要刪除幾個邊才能讓該圖變成二分圖，這和奇環代表系問題都是重要的圖修改演算法問題，而且也都是可定變數決定的。事實上，刪邊二分性問題可以在 ${\displaystyle O(2^{k}m^{2})}$被解決[28]，其中 m 是原圖中的邊數。

一个圖的匹配是这个图中一些邊所形成的集合，滿足任意集合中的两条边都没有公共的顶点。許多關於匹配的問題都有可以被多項式時間的演算法解決，例如最大匹配問題 (尋找一個匹配包含最多的邊)，極大加權匹配問題，和穩定婚姻問題[29]。在大部分的情況，如果已知原圖是二分圖，匹配問題會變得單純很多[30]，而且許多演算法只能處理二分圖上的情況，例如專門用來計算最大匹配的邊數的霍普克洛夫特－卡普演算法[31]。

舉個簡單的例子，假設有一些人想要找尋工作，他們形成集合 P，此外還有一些職缺，它們形成集合 J，並不是所有人都適合所有的工作，但一個人只能做一份工作。這個案例可以被建模成一個二分圖${\displaystyle (P,J,E)}$，如果一個人可以做某項工作則將二者連邊[32]。一個完美匹配是一個工作的指派使得所有人都有工作做而且每個職缺都有人做。霍爾婚配定理給出一個二分圖有完美匹配的刻畫。

杜爾馬基-孟德爾索分解將圖依據其結構分解成多塊，經常用於找尋圖的最大匹配[33]。