默慈金數

在數學中，一個給定的數n的默慈金數是「在一個圓上的n個點間，畫出彼此不相交的弦的全部方法的總數」。默慈金數在幾何、组合数学和数论等領域中皆有其用途。它以遞歸的方法給出的定義如下：

Motzkin Number

${\displaystyle M_{n+1}=M_{n}+\sum _{i=0}^{n-1}M_{i}M_{n-1-i}={\frac {2n+3}{n+3}}M_{n}+{\frac {3n}{n+3}}M_{n-1}}$

默慈金數也可以表示为

${\displaystyle M_{n}=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\binom {n}{2k}}C_{k}.}$

${\displaystyle M_{n}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{n+2-k}}*{\binom {n}{k}}*{\binom {2n+2-2k}{n+1-k}}}$

最初的幾個默慈金數如下（OEIS數列A001006）：

1, 1, 2, 4, 9, 21, 51, 127, 323, 835, 2188, 5798, 15511, 41835, 113634, 310572, 853467, 2356779, 6536382, 18199284, 50852019, 142547559, 400763223, 1129760415, 3192727797, 9043402501, 25669818476, 73007772802, 208023278209, 593742784829

下圖顯示了「在一個圓上的4個點間，畫出彼此不相交的弦的所有9種方法」：

下圖顯示了「在一個圓上的5個點間，畫出彼此不相交的弦的所有21種方法」：

「默慈金質數」是同時為質數的默慈金數，直至2007年10月止，共有四個已知的「默慈金質數」，它們分別如下（OEIS數列A092832）：

2, 127, 15511, 953467954114363

默慈金數亦出現在別的地方，像例如在一個「網格」上，若限定「每步只能向右移動一格（可以向右上、右下橫向向右），並禁止移動到y=0以下的地方」，則以這種走法用n步從（0,0）移動至（n,0）的可能形成的路徑的總數為n的默慈金數。

以下為例，下例顯現了從（0,0）至（4,0）照上述的走法中，九種可行的路徑：

根據Donaghey & Shapiro (1977)對默慈金數的調查，在數學的各分支中，默慈金數至少有十四個彼此不同的展現存在；Guibert，Pergola & Pinzani (2001)指出旗手輪換（Vexillary permutation）和默慈金數相關。