莱默平均

若 ${\displaystyle p}$ 是任意实数，则可定义正实数组 ${\displaystyle \mathbf {x} }$ 的 ${\displaystyle p}$ 次莱默平均为

${\displaystyle L_{p}(\mathbf {x} )={\frac {\sum _{k=1}^{n}x_{k}^{p}}{\sum _{k=1}^{n}x_{k}^{p-1}}}.}$

若 ${\displaystyle w_{k}}$ 是一组正实数，则可定义加权莱默平均为

${\displaystyle L_{p,w}(\mathbf {x} )={\frac {\sum _{k=1}^{n}w_{k}\cdot x_{k}^{p}}{\sum _{k=1}^{n}w_{k}\cdot x_{k}^{p-1}}}.}$

莱默平均可以看成是关于幂指数的函数，定义莱默平均函数 ${\displaystyle p\mapsto L_{p}(\mathbf {x} )}$ ，则莱默平均函数的导数是非负的：

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial p}}L_{p}(\mathbf {x} )={\frac {\left(\sum _{j=1}^{n}\sum _{k=j+1}^{n}\left[x_{j}-x_{k}\right]\cdot \left[\ln(x_{j})-\ln(x_{k})\right]\cdot \left[x_{j}\cdot x_{k}\right]^{p-1}\right)}{\left(\sum _{k=1}^{n}x_{k}^{p-1}\right)^{2}}}\geq 0}$

因此，莱默平均函数是单调增函数且有如下莱默平均不等式：

${\displaystyle p\leq q\rightarrow L_{p}(\mathbf {x} )\leq L_{q}(\mathbf {x} )}$

加权形式亦有此结论。

• ${\displaystyle \lim _{p\to -\infty }L_{p}(\mathbf {x} )}$ 即${\displaystyle \mathbf {x} }$这组数的最小值.
• ${\displaystyle L_{0}(\mathbf {x} )}$即调和平均数.
• ${\displaystyle L_{\frac {1}{2}}\left((x_{1},x_{2})\right)}$即 ${\displaystyle x_{1}}$ 和${\displaystyle x_{2}}$的几何平均数 .
• ${\displaystyle L_{1}(\mathbf {x} )}$ 即 算术平均数.
• ${\displaystyle L_{2}(\mathbf {x} )}$ 即反调和平均数.
• ${\displaystyle \lim _{p\to \infty }L_{p}(\mathbf {x} )}$ 即${\displaystyle \mathbf {x} }$这组数的最大值.

• 平均
• 幂平均
• 平方平均
• 算术平均
• 几何平均
• 调和平均
• 海伦平均（Heronian mean）
• 算术几何平均不等式