萊默的歐拉函數問題

在數學上，萊默的歐拉函數問題（Lehmer's totient problem）指的是是否有合成數 $n$ ，其歐拉函數 $\varphi (n)$ 的值可整除 $n-1$ 。這問題迄今仍未得證。

未解決的數學問題：是否有合成數

n

的歐拉函數的值可整除

n-1

？

已知 $\varphi (n)=n-1$ ，當且僅當 $n$ 是質數，故對於任何質數 $n$ 而言，有 $\varphi (n)=n-1$ ，且 $\varphi (n)$ 可整除 $n-1$ ；而德里克·亨利·萊默猜想說，沒有任何合成數 $n$ ，使得 $\varphi (n)$ 整除 $n-1$ 。[1]

歷史

萊默證明了說如果有這樣的合成數 $n$ ，那麼 $n$ 必然是奇數、必然是無平方因子數，且必然有至少七個不同的質因數（ $\omega (n)\geq 7$ ）。此外這樣的數必然是個卡邁克爾數。
1980年，Cohen和Hagis證明了說，若這樣的 $n$ 存在，則 $n>10^{20}$ 且 $n$ 有至少14個不同的質因數（ $\omega (n)\geq 14$ ）。[2]
1988年，Hagis證明了說若這樣的 $n$ 存在且可被3除盡，那麼 $n>10^{1937042}$ 且 $n$ 有至少298848個不同的質因數（ $\omega (n)\geq 298848$ ）。[3]這結果之後為Burcsi、Czirbusz和Farkas改進，他們證明了說若的 $n$ 存在且可被3除盡，那麼 $n>10^{360000000}$ 且 $n$ 有至少40000000個不同的質因數（ $\omega (n)\geq 40000000$ ）。[4]
一個2011年的結果顯示，這問題小於 $X$ 的解的數量至多有 ${X^{1/2}/(\log X)^{1/2+o(1)}}$ 個。[5]

參考資料

Lehmer (1932)
Sándor et al (2006) p.23
Guy (2004) p.142
Burcsi, P. , Czirbusz,S., Farkas, G. . Ann. Univ. Sci. Budapest. Sect. Comput. 2011, 35: 43-49.
Luca and Pomerance (2011)

Cohen, Graeme L.; Hagis, Peter, jun. . Nieuw Arch. Wiskd. III Series. 1980, 28: 177–185. ISSN 0028-9825. Zbl 0436.10002.
Guy, Richard K. 3rd. Springer-Verlag. 2004. B37. ISBN 0-387-20860-7. Zbl 1058.11001.
Hagis, Peter, jun. . Nieuw Arch. Wiskd. IV Series. 1988, 6 (3): 255–261. ISSN 0028-9825. Zbl 0668.10006.
Lehmer, D. H. . Bulletin of the American Mathematical Society. 1932, 38 (10): 745–751. ISSN 0002-9904. Zbl 0005.34302. doi:10.1090/s0002-9904-1932-05521-5 .
Luca, Florian; Pomerance, Carl. . Bol. Soc. Mat. Mexicana. 2011, 17 (3): 13–21. ISSN 1405-213X. MR 2978700.
Ribenboim, Paulo. 3rd. New York: Springer-Verlag. 1996. ISBN 0-387-94457-5. Zbl 0856.11001.
Sándor, József; Mitrinović, Dragoslav S.; Crstici, Borislav (编). . Dordrecht: Springer-Verlag. 2006. ISBN 1-4020-4215-9. Zbl 1151.11300.
Burcsi, Péter; Czirbusz, Sándor; Farkas, Gábor. (PDF). Ann. Univ. Sci. Budap. Rolando Eötvös, Sect. Comput. 2011, 35: 43–49 [2024-01-09]. ISSN 0138-9491. MR 2894552. Zbl 1240.11005. （原始内容存档 (PDF)于2024-01-09）.

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[1] Lehmer (1932)

[HBI23-2] Sándor et al (2006) p.23

[Guy142-3] Guy (2004) p.142

[4] Burcsi, P. , Czirbusz,S., Farkas, G. . Ann. Univ. Sci. Budapest. Sect. Comput. 2011, 35: 43-49.

[LP2011-5] Luca and Pomerance (2011)