解析延拓

自然對數虛部之解析延拓

若f為一解析函數，定義於複平面C中之一開子集 U，而V是C中一更大且包含U之開子集。F為定義於V之解析函數，並使

${\displaystyle \displaystyle F(z)=f(z)\qquad \forall z\in U,}$

則F稱為f之解析延拓。換過來說，將F函數限制在U則得到原先的f函數。

解析延拓具有唯一性：

若V為兩解析函數F₁及F₂的連通定義域，並使V包含U；若在U中所有的z使得

F₁(z) = F₂(z) = f(z)，

則在V中所有點

F₁ = F₂。

此乃因 F₁ − F₂亦為一解析函數，其值於f的開放連通定義域U上為0，必導致整個定義域上的值皆為0。此為全純函數之惟一性定理的直接結果。

在复分析处理过程中定义函数的通常做法是，首先在较小的定义域中具体定义函数，然后通过解析延拓将其扩展到指定范围。在实际操作中，为了实现函数的连续性，我们需要在较小的定义域中建立函数方程， 然后通过这个方程拓展定义域。例如黎曼ζ函数和Γ函数。全覆盖的概念最早用来定义解析函数解析延拓之后的自然定义域。寻找函数解析延拓后的最大定义域的想法最后导致了黎曼面的诞生。

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