貝西科維奇覆蓋定理

若${\displaystyle {\mathcal {F}}}$是${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$中的非退化（半徑為正數）閉球族，當中的球的半徑有有限上界，即

${\displaystyle \sup\{\mathrm {rad} (B):B\in {\mathcal {F}}\}<\infty }$

而A為當中的球的中心組成的集合。那麼${\displaystyle {\mathcal {F}}}$中存在子集${\displaystyle {\mathcal {G}}_{1},\cdots ,{\mathcal {G}}_{N_{n}}}$，每個${\displaystyle {\mathcal {G}}_{i}}$是可數多個互不相交的球的集合，而且

${\displaystyle A=\bigcup _{i=1}^{N_{n}}\bigcup _{B\in {\mathcal {G}}_{i}}B}$

其中${\displaystyle N_{n}}$是一個僅依賴於n的常數。

先假設A是有界集合。依次選取球${\displaystyle B_{i}}$

1. 選擇${\displaystyle B(a_{1},r_{1})\in {\mathcal {F}}}$為${\displaystyle B_{1}}$，適合條件${\displaystyle r_{1}\geq {\frac {3}{4}}\sup\{B(a,r)\in {\mathcal {F}}\}}$
2. 若已選取${\displaystyle B_{1},\cdots ,B_{j-1}}$，${\displaystyle j\geq 2}$。令${\displaystyle A_{j}:=A\setminus \cup _{i=1}^{j-1}B_{i}}$。若${\displaystyle A_{j}=\varnothing }$，就停止；若否，選擇${\displaystyle B(a_{j},r_{j})}$為${\displaystyle B_{j}}$，適合條件${\displaystyle r_{j}\geq {\frac {3}{4}}\sup\{B(a,r)\in {\mathcal {F}},a\in A_{j}\}}$

球${\displaystyle B_{i}}$有以下性質

1. 以${\displaystyle B_{i}}$的選取方法可知，若j > i，則${\displaystyle r_{j}\leq {\frac {4}{3}}r_{i}}$，${\displaystyle \left|a_{i}-a_{j}\right|>r_{i}}$。
2. 將全部球${\displaystyle B_{i}}$的半徑縮至三分之一，從以上不等式，可證這些縮小的球${\displaystyle B(a_{i},r_{i}/3)}$互不相交。
3. 若有可數無限多球${\displaystyle B_{i}}$，因A有界，及縮小的球不交的性質，所以球${\displaystyle B_{i}}$的半徑趨向0。
4. ${\displaystyle A\subset \cup _{i}B_{i}}$。若${\displaystyle B_{i}}$數目有限，則結果明顯；若數目是無限多，假如有${\displaystyle a\in A\setminus \cup _{i}B_{i}}$，那麼${\displaystyle {\mathcal {F}}}$中有球${\displaystyle B(a,r)}$，而從上一性質知，對足夠大的j，有${\displaystyle r_{j}<(3/4)r}$，與${\displaystyle B_{j}}$的選取條件矛盾。

對k > 1，估算${\displaystyle B_{k}}$和多少個之前選擇的球${\displaystyle B_{i}}$相交。先將這樣的${\displaystyle B_{i}}$按半徑${\displaystyle r_{i}}$分成兩組：${\displaystyle r_{i}\leq 3r_{k}}$為第一組，${\displaystyle r_{i}>3r_{k}}$為第二組。

對第一組的球${\displaystyle B_{i}=B(a_{i},r_{i})}$，將其縮小成${\displaystyle B(a_{i},r_{i}/3)}$後包含在${\displaystyle B(a_{k},5r_{k})}$中。${\displaystyle B(a_{i},r_{i}/3)}$之間互不相交，故總體積不超過${\displaystyle B(a_{k},5r_{k})}$的體積。又因${\displaystyle r_{i}\geq (3/4)r_{k}}$，因此${\displaystyle B(a_{i},r_{i}/3)}$相對${\displaystyle B(a_{k},5r_{k})}$的比例有一個下限，而這下限僅由維數n決定。所以第一組的球的數目有一個僅依賴於n的上限。

對第二組的球，任取其中兩個球${\displaystyle B_{i}}$,${\displaystyle B_{j}}$。考慮以${\displaystyle a_{i}}$,${\displaystyle a_{j}}$,${\displaystyle a_{k}}$作頂點的三角形。因${\displaystyle B_{i}}$,${\displaystyle B_{j}}$都和${\displaystyle B_{k}}$相交，又${\displaystyle a_{k}}$不在${\displaystyle B_{i}}$,${\displaystyle B_{j}}$之內，故有不等式

${\displaystyle r_{i}<\left|a_{i}-a_{k}\right|<r_{i}+r_{k}}$

${\displaystyle r_{j}<\left|a_{j}-a_{k}\right|<r_{j}+r_{k}}$

欲證出此三角形以${\displaystyle a_{k}}$為頂點的角${\displaystyle \theta }$，不小於一常數。可以假設${\displaystyle a_{i}a_{k}}$邊長不大於${\displaystyle a_{j}a_{k}}$邊長。如果${\displaystyle a_{i}}$不在${\displaystyle B_{j}}$內，則${\displaystyle a_{i}a_{j}}$邊長大於${\displaystyle r_{j}}$。若${\displaystyle a_{i}a_{j}}$邊長不小於${\displaystyle a_{j}a_{k}}$邊長，則${\displaystyle a_{i}a_{j}}$為三角形中最長的邊，所以${\displaystyle \theta }$不小於${\displaystyle \pi /3}$。若${\displaystyle a_{i}a_{j}}$邊長小於${\displaystyle a_{j}a_{k}}$邊長，以平面幾何可證得這情形時${\displaystyle \theta }$不小於arccos(5/6)。如果${\displaystyle a_{i}}$在${\displaystyle B_{j}}$內，必有i < j，故${\displaystyle r_{j}\leq (4/3)r_{i}}$，且${\displaystyle a_{j}}$不在${\displaystyle B_{i}}$內，因此${\displaystyle a_{i}a_{j}}$邊長大於${\displaystyle r_{i}}$。可證得這情形時${\displaystyle \theta }$不小於arccos(61/64)。取上述下限的最小者，得出${\displaystyle \theta }$的下限為arccos(61/64)。

因此將第二組各個的球的中心和${\displaystyle a_{k}}$之間連成直線，則任意兩條直線之間在${\displaystyle a_{k}}$的夾角不小於arccos(61/64)。${\displaystyle a_{k}}$為中心的單位球面上，這些直線中任何兩條和球面的交點，其間的球面距離，等於直線間的夾角。直線間的夾角下限，就是交點間的球面距離下限。在單位球面上所能容納的這樣的點的數目，有一個只依賴維數n的上限，這也就是第二組球的數目上限。

${\displaystyle B_{k}}$和之前的球相交的數目上限，是以上兩組的上限的和，於是這個上限只依賴於維數n。這個上限加1設為${\displaystyle M_{n}}$。現在從${\displaystyle B_{1}}$開始依次把球放到子集${\displaystyle {\mathcal {G}}_{i}}$內。輪到${\displaystyle B_{k}}$時，因為之前的球中最多有${\displaystyle M_{n}-1}$個和${\displaystyle B_{k}}$相交，因此在${\displaystyle M_{n}}$個子集${\displaystyle {\mathcal {G}}_{i}}$中，必定有至少一個所包含的球都不和${\displaystyle B_{k}}$相交，於是可以把${\displaystyle B_{k}}$加進這個子集。這樣就得出了子集${\displaystyle {\mathcal {G}}_{i}}$，滿足條件

${\displaystyle A\subset \bigcup _{i}B_{i}=\bigcup _{i=1}^{M_{n}}\bigcup _{B\in {\mathcal {G}}_{i}}B}$

對一般的A，設

${\displaystyle R:=\sup\{\mathrm {rad} (B),B\in {\mathcal {F}}\}}$

對每個正整數l，設

${\displaystyle A_{l}:=\{x\in A:3R(l-1)\leq |x|<3R\,l\}}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{l}:=\{B(a,r)\in {\mathcal {F}}:a\in A_{l}\}}$

將以上結果用到${\displaystyle A_{l}}$和${\displaystyle {\mathcal {F}}^{l}}$上，得到子集${\displaystyle {\mathcal {G}}_{1}^{l},\cdots ,{\mathcal {G}}_{M_{n}}^{l}}$，滿足條件

${\displaystyle A_{l}\subset \bigcup _{i=1}^{M_{n}}\bigcup _{B\in {\mathcal {G}}_{i}^{l}}B}$

對${\displaystyle 1\leq j\leq M_{n}}$，設${\displaystyle {\mathcal {G}}_{i}:=\cup _{l=1}^{\infty }{\mathcal {G}}_{i}^{2l-1}}$，${\displaystyle {\mathcal {G}}_{i+M_{n}}:=\cup _{l=1}^{\infty }{\mathcal {G}}_{i}^{2l}}$，並設${\displaystyle N_{n}=2M_{n}}$。那麼${\displaystyle {\mathcal {G}}_{i}}$的球互不相交，且有

${\displaystyle A=\bigcup _{l=1}^{\infty }A_{l}\subset \bigcup _{i=1}^{N_{n}}\bigcup _{B\in {\mathcal {G}}_{i}}B}$

因此定理得證。

• 維塔利覆蓋引理

• Evans, Lawrence C.; Gariepy, Ronald F. (1992). Measure Theory and Fine Properties of Functions. CRC Press.