維塔利覆蓋引理

在一個度量空間中有一族閉球${\displaystyle B_{1},\ldots ,B_{n}}$，則這一族球中存在互不相交的球${\displaystyle B_{i_{1}},\ldots ,B_{i_{m}}}$，適合條件

${\displaystyle B_{1}\cup \ldots \cup B_{n}\subset 3B_{i_{1}}\cup \ldots \cup 3B_{i_{m}}}$

${\displaystyle 3B_{i_{k}}}$表示和${\displaystyle B_{i_{k}}}$有相同中心，而半徑是${\displaystyle B_{i_{k}}}$的三倍的球。

在一個度量空間中有一族半徑為正數的閉球${\displaystyle \{B_{i}:i\in I\}}$，這族球的半徑有有限的上界，即

${\displaystyle \sup _{I}\mathrm {rad} (B_{i})<\infty }$

則這一族球中存在互不相交的球${\displaystyle \{B_{i}:i\in I'\}}$，${\displaystyle I'\subset I}$，適合條件

${\displaystyle \bigcup _{i\in I}B_{i}\subset \bigcup _{i\in I'}5B_{i}}$

${\displaystyle 5B_{i}}$表示和${\displaystyle B_{i}}$有相同中心，而半徑是${\displaystyle B_{i}}$的五倍的球。

取這一族球中半徑最大的一個球${\displaystyle B_{i_{1}}}$，然後除去所有與${\displaystyle B_{i_{1}}}$相交的球。再從剩下的球中取半徑最大的為${\displaystyle B_{i_{2}}}$，如此類推。那麼任何其他的球必定因為和某個${\displaystyle B_{i_{k}}}$相交而被除去，這個球的半徑不大於${\displaystyle B_{i_{k}}}$，因此包含在${\displaystyle 3B_{i_{k}}}$之內。

設這一族球的半徑的上確界為R。將這一族按半徑分成子集${\displaystyle {\mathcal {F}}_{j}}$，j為正整數；${\displaystyle {\mathcal {F}}_{j}}$包含半徑在區間${\displaystyle (R/2^{j},R/2^{j-1}]}$的球。依次取${\displaystyle {\mathcal {G}}_{1},{\mathcal {G}}_{2},\cdots }$如下：

1. 設${\displaystyle {\mathcal {F}}'_{1}={\mathcal {F}}_{1}}$。取${\displaystyle {\mathcal {G}}_{1}}$為${\displaystyle {\mathcal {F}}'_{1}}$內互不相交球的子集之中的極大者，即其他在${\displaystyle {\mathcal {F}}'_{1}}$中的球都與這一子集中某個球相交。從佐恩引理知這樣的${\displaystyle {\mathcal {G}}_{1}}$存在，以下同。
2. 設已取${\displaystyle {\mathcal {G}}_{1},\cdots ,{\mathcal {G}}_{k-1}}$，k為某大於1的整數。設${\displaystyle {\mathcal {F}}'_{k}}$是${\displaystyle {\mathcal {F}}_{k}}$中不與${\displaystyle {\mathcal {G}}_{1}\cup \cdots \cup {\mathcal {G}}_{k-1}}$中任何球相交的全部球的子集。取${\displaystyle {\mathcal {G}}_{k}}$為${\displaystyle {\mathcal {F}}'_{k}}$內互不相交球的子集之中的極大者。

設${\displaystyle {\mathcal {G}}=\bigcup _{k=1}^{\infty }{\mathcal {G}}_{k}}$。任何其他的球B必在某一個${\displaystyle {\mathcal {F}}'_{k}}$中，因此這個球與${\displaystyle {\mathcal {G}}_{k}}$中一個球${\displaystyle B'}$相交，而${\displaystyle B'}$的半徑大於B的半徑的二分之一，故此B包含在${\displaystyle 5B'}$之內。

在平面${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$中，給出如下的一族球：對每個正整數n，${\displaystyle B_{n}}$是半徑為${\displaystyle 2-1/n}$的閉球，若n為奇數，${\displaystyle B_{n}}$的圓心在${\displaystyle (2-1/n,0)}$；若n為偶數，則圓心在${\displaystyle (-2+1/n,0)}$。所有球都包含原點(0,0)，故任意兩個球都相交，因此包含互不相交的球的子集只能有一個球。這一族球的半徑上確界是2，然而全部球的半徑都小於2。若選任何一個${\displaystyle B_{n}}$為這個子集，因有半徑更大的球${\displaystyle B_{n+1}}$在原點的另一側，故此${\displaystyle 3B_{n}}$不覆蓋${\displaystyle B_{n+1}}$。