費曼斜線標記

透過使用狄拉克矩陣的反對易關係，可以證明任何${\displaystyle a_{\mu }}$與${\displaystyle b_{\mu }}$滿足

${\displaystyle a\!\!\!/a\!\!\!/=a^{\mu }a_{\mu }=a^{2}}$

${\displaystyle a\!\!\!/b\!\!\!/+b\!\!\!/a\!\!\!/=2a\cdot b\,}$。

特別是，

${\displaystyle \partial \!\!\!/^{2}=\partial ^{2}}$。

透過直接將狄拉克矩陣恆等式中的度量張量換成內積則可得出更多的恆等式。例如，

${\displaystyle \operatorname {tr} (a\!\!\!/b\!\!\!/)=4a\cdot b}$

${\displaystyle \operatorname {tr} (a\!\!\!/b\!\!\!/c\!\!\!/d\!\!\!/)=4\left[(a\cdot b)(c\cdot d)-(a\cdot c)(b\cdot d)+(a\cdot d)(b\cdot c)\right]}$

${\displaystyle \operatorname {tr} (\gamma _{5}a\!\!\!/b\!\!\!/c\!\!\!/d\!\!\!/)=4i\epsilon _{\mu \nu \lambda \sigma }a^{\mu }b^{\nu }c^{\lambda }d^{\sigma }}$

${\displaystyle \gamma _{\mu }a\!\!\!/\gamma ^{\mu }=-2a\!\!\!/}$.

${\displaystyle \gamma _{\mu }a\!\!\!/b\!\!\!/\gamma ^{\mu }=4a\cdot b\,}$

${\displaystyle \gamma _{\mu }a\!\!\!/b\!\!\!/c\!\!\!/\gamma ^{\mu }=-2c\!\!\!/b\!\!\!/a\!\!\!/\,}$

其中

${\displaystyle \epsilon _{\mu \nu \lambda \sigma }\,}$為列維-奇維塔符號。

很多時候，為計算出截面而解狄拉克方程時，會發現四維動量上出現費曼斜線標記：

使用${\displaystyle \gamma \,}$的狄拉克基表示

${\displaystyle \gamma ^{0}={\begin{pmatrix}I&0\\0&-I\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{i}={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{i}\\-\sigma ^{i}&0\end{pmatrix}}\,}$

以及四維動量的定義

${\displaystyle p_{\mu }=\left(E,-p_{x},-p_{y},-p_{z}\right)\,}$

可明確地得出

${\displaystyle {\begin{aligned}p\!\!/&=\gamma ^{\mu }p_{\mu }=\gamma ^{0}p_{0}-\gamma ^{i}p_{i}\\&={\begin{bmatrix}p_{0}&0\\0&-p_{0}\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}0&\sigma ^{i}p_{i}\\-\sigma ^{i}p_{i}&0\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}E&-\sigma \cdot {\vec {p}}\\\sigma \cdot {\vec {p}}&-E\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

使用其他基也能得出相同的結果，例如外爾基。

• 狄拉克矩陣