贝特朗判别法

设${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$是欲判断敛散性的级数，定义序列

${\displaystyle {\mathcal {B}}_{n}=\left(n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)-1\right)\ln n.}$

设它具有极限 ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{{\mathcal {B}}_{n}}={\mathcal {B}}}$

那么：

• 倘若${\displaystyle {\mathcal {B}}>1}$，级数收敛；
• 倘若${\displaystyle {\mathcal {B}}<1}$，级数发散；
• 倘若${\displaystyle {\mathcal {B}}=1}$，则级数的敛散性暂时不能确定[1]。

在库默尔判别法中取${\displaystyle c_{n}=n\ln n(n\geq 2)}$，这样的选取是可以允许的，因为级数${\displaystyle \sum {\frac {1}{n\ln n}}}$发散。

在这情形下有${\displaystyle {\mathcal {K}}_{n}=n\ln n\cdot {\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-(n+1)\ln(n+1)}$。

也可以表示成${\displaystyle {\mathcal {K}}_{n}=\ln n\left[n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)-1\right]-\ln \left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n+1}={\mathcal {B}}_{n}-\ln \left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n+1}}$。

其中${\displaystyle {\mathcal {B}}_{n}=\ln n\left[n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)-1\right]=\ln n\cdot \left({\mathcal {R}}_{n}-1\right)}$，这就得到了贝特朗判别法。