九点圆定理

1765年，萊昂哈德·歐拉證明：「垂心三角形和垂足三角形有共同的外接圓（六點圓）。」許多人誤以為九點圓是由歐拉發現所以又稱乎此圓為歐拉圓。而第一個證明九點圓的人是彭賽列（1821年）。1822年，卡尔·威廉·費爾巴哈也發現了九點圓，並得出「九點圓和三角形的內切圓和旁切圓相切」，因此德國人稱此圓為費爾巴哈圓，並稱這四個切點為費爾巴哈點。柯立芝與大上茂喬（Shigetaka Ooue）[1]分別於1910年與1916年發表「圓周上四點任取三點做三角形，四個三角形的九點圓圓心共圓。」這個圓還被稱為四邊形的九點圓，此結果還可推廣到n邊形。

如圖：${\displaystyle D}$、${\displaystyle E}$、${\displaystyle F}$為三邊的中點，${\displaystyle G}$、${\displaystyle H}$、${\displaystyle I}$為垂足，${\displaystyle J}$、${\displaystyle K}$、${\displaystyle L}$為和頂點到垂心的三條線段的中點。

• 容易得出${\displaystyle \triangle ABS\sim \triangle AFJ}$、${\displaystyle \triangle CBS\sim \triangle CDL}$（${\displaystyle SAS}$相似）

• 因此${\displaystyle {\overline {FJ}}//{\overline {BH}}//{\overline {DL}}}$

• 同樣可得出${\displaystyle \triangle ABC\sim \triangle FBD}$、${\displaystyle \triangle ASC\sim \triangle JSL}$（${\displaystyle SAS}$相似）

• 因此${\displaystyle {\overline {FD}}//{\overline {AC}}//{\overline {JL}}}$

• 又${\displaystyle {\overline {BH}}\perp {\overline {AC}}}$，可得出四邊形${\displaystyle DFJL}$是矩形（四點共圓）

• 同理可證${\displaystyle FKLE}$也是矩形（${\displaystyle DKFJEL}$共圓）

• ${\displaystyle \angle JLD=\angle JGD=90^{\circ }}$，因此可知${\displaystyle G}$也在圓上（圓周角相等）

• 同理可證${\displaystyle H}$、${\displaystyle I}$兩點也在圓上（九點共圓）

九點圓的半徑是外接圓的一半，且九點圓平分垂心與外接圓上的任一點的連線。

• 在直角坐標系中，我們知道圓的方程為${\displaystyle (x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}=r^{2}}$，其中${\displaystyle r}$為圓的半徑，${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$為圓的圓心坐標。若做圓上三點與點${\displaystyle (x_{S},y_{S})}$的中點的軌跡，則此軌跡的方程式為：

${\displaystyle \left(x-{\frac {x_{0}+x_{S}}{2}}\right)^{2}+\left(y-{\frac {y_{0}+y_{S}}{2}}\right)^{2}=\left({\frac {r}{2}}\right)^{2}}$

• 設${\displaystyle r}$為外接圓的半徑、${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$為外接圓的圓心坐標、點${\displaystyle (x_{S},y_{S})}$為垂心坐標。
• 已知九點圓通過頂點到垂心的三條線段的中點，故此軌跡圓就是九點圓，半徑是外接圓的一半，且平分垂心與外接圓上的任一點的連線。
• 同時還可以得出下面的性質：

• 圓心在歐拉線上，且在垂心到外心的線段的中點。由此可知，給定三角形頂點座標，九點圓圓心為

${\displaystyle \left({\frac {\begin{vmatrix}x_{1}^{2}+y_{1}^{2}-2\left(x_{2}x_{3}+y_{2}y_{3}\right)&y_{1}&1\\x_{2}^{2}+y_{2}^{2}-2\left(x_{3}x_{1}+y_{3}y_{1}\right)&y_{2}&1\\x_{3}^{2}+y_{3}^{2}-2\left(x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}\right)&y_{3}&1\\\end{vmatrix}}{4{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&1\end{vmatrix}}}},{\frac {\begin{vmatrix}x_{1}&x_{1}^{2}+y_{1}^{2}-2\left(x_{2}x_{3}+y_{2}y_{3}\right)&1\\x_{2}&x_{2}^{2}+y_{2}^{2}-2\left(x_{3}x_{1}+y_{3}y_{1}\right)&1\\x_{3}&x_{3}^{2}+y_{3}^{2}-2\left(x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}\right)&1\\\end{vmatrix}}{4{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&1\end{vmatrix}}}}\right)}$

• 九點圓和三角形的內切圓和旁切圓相切（費爾巴哈定理）。

• 圓周上四點任取三點做三角形，四個三角形的九點圓圓心共圓。

• 垂心四面体的12点共球九点圆是垂心四面体各棱的中点和垂足（相对于对棱）共球的特例，两者是同构的
• 主旁心三角形的九點圓是三角形的外接圓
• 中點三角形的外接圓是三角形的九點圓
• 三線坐標中，九點圓的座標為${\displaystyle \cos(B-C)\,:\,\cos(C-A)\,:\,\cos(A-B)}$
• 三線坐標中，費爾巴哈點的座標為${\displaystyle 1-\cos(B-C)\,:\,1-\cos(C-A)\,:\,1-\cos(A-B)}$

• 萊昂哈德·歐拉
• 卡尔·威廉·費爾巴哈

• 幾何明珠 ISBN 957-603-197-4
• 幾何寶庫（页面存档备份，存于）
• （页面存档备份，存于）
• Feuerbach's Theorem: a Proof（页面存档备份，存于）