費馬原理

光線從點Q傳播至點O時，會被半圓形或混合形鏡子反射，最終抵達點P。

費馬原理更正確的版本應是「平穩時間原理」。對於某些狀況，光線傳播的路徑所需的時間可能不是最小值，而是最大值，或甚至是拐值。[1]

• 平面鏡：任意兩點的反射路徑光程是最小值。
• 半橢圓形鏡子：其兩個焦點的光線反射路徑不是唯一的，光程都一樣，是最大值，也是最小值。
• 半圓形鏡子：其兩個端點Q、P的反射路徑光程是最大值。
• 如最右圖所示，對於由四分之一圓形鏡與平面鏡組合而成的鏡子，同樣這兩個點Q、P的反射路徑的光程是拐值。

光線從介質１的點Q，在點Ｏ傳播進入介質２，發生折射，最後抵達介質２的點P。

如右圖所示，設定介質１、介質２的折射率分別為 ${\displaystyle n_{1}}$ 、${\displaystyle n_{2}}$ ，光線從介質１在點Ｏ傳播進入介質２，則司乃耳定律以方程式表達為

${\displaystyle n_{1}\sin \theta _{1}=n_{2}\sin \theta _{2}}$ ；

其中，${\displaystyle \theta _{1}}$ 為入射角，${\displaystyle \theta _{2}}$ 為折射角。

從費馬原理，可以推導出司乃耳定律。光線在介質１與介質２的速度 ${\displaystyle v_{1}}$ 和 ${\displaystyle v_{2}}$ 分別為

${\displaystyle v_{1}=c/n_{1}}$ 、

${\displaystyle v_{2}=c/n_{2}}$ ；

其中，${\displaystyle c}$ 是真空光速。

由於介質會減緩光線的速度，折射率 ${\displaystyle n_{1}}$ 和 ${\displaystyle n_{2}}$ 都大於 ${\displaystyle 1}$ 。

從點Q到點P的傳播時間 ${\displaystyle T}$ 為

${\displaystyle T={\frac {\sqrt {x^{2}+a^{2}}}{v_{1}}}+{\frac {\sqrt {b^{2}+(l-x)^{2}}}{v_{2}}}}$ 。

根據費馬原理，光線傳播的路徑是所需時間為極值的路徑，取傳播時間 ${\displaystyle T}$ 對 ${\displaystyle x}$ 的導數，設定其為零：

${\displaystyle {\frac {dT}{dx}}={\frac {x}{v_{1}{\sqrt {x^{2}+a^{2}}}}}+{\frac {-(l-x)}{v_{2}{\sqrt {(l-x)^{2}+b^{2}}}}}=0}$ 。

其中 ${\displaystyle {\frac {x}{\sqrt {x^{2}+a^{2}}}}=\sin \theta _{1}}$

${\displaystyle {\frac {(l-x)}{\sqrt {(l-x)^{2}+b^{2}}}}=\sin \theta _{2}}$

因此得到傳播速度與折射角的關係式：

${\displaystyle {\frac {dT}{dx}}={\frac {\sin \theta _{1}}{v_{1}}}-{\frac {\sin \theta _{2}}{v_{2}}}=0}$ 。

將傳播速度與折射率的關係式代入，就會得到司乃耳定律：

${\displaystyle n_{1}\sin \theta _{1}=n_{2}\sin \theta _{2}}$ 。

伯努利家族的约翰·伯努利在解决最速降线问题时曾利用到费马原理。[3]他将小球运动类比作光线的运动，从而得出最速降线为摆线。

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