賦值

一個域${\displaystyle K}$上取值在有序交換群Γ的賦值是從${\displaystyle K^{*}}$到Γ的映射${\displaystyle v}$，滿足下述性質：

• ${\displaystyle v(xy)=v(x)+v(y)}$（即：${\displaystyle v}$是群同態）
• ${\displaystyle x+y\neq 0\Rightarrow v(x+y)\geq \mathrm {min} (v(x),v(y))}$

Γ稱作${\displaystyle v}$的值群。

兩個賦值${\displaystyle v_{i}:K^{*}\rightarrow \Gamma _{i}\;(i=1,2)}$被稱作等價的，若且唯若存在有序交換群的同構${\displaystyle \phi$ :\Gamma _{1}\rightarrow \Gamma _{2}} 使得${\displaystyle v_{2}=\phi \circ v_{1}}$。

為了操作上的便利，我們通常會將${\displaystyle v}$的值域擴至${\displaystyle \Gamma \cup \{\infty \}}$，並設${\displaystyle v(0)=\infty }$。

設p為正質數。對於所有非零的有理數，存在一且唯一一個整數${\displaystyle n}$使得 ${\displaystyle x={\frac {u}{v}}p^{n}}$ ，其中${\displaystyle u,v}$均非${\displaystyle p}$的倍數。p進賦值就是函數 ${\displaystyle v_{p}:x\to n}$。它給出一個p進絕對值 ${\displaystyle \vert \cdot \vert _{p}:\,\mathbb {Q} \to \mathbb {R} }$，定義為

${\displaystyle \vert x\vert _{p}={\begin{cases}0\\p^{-v_{p}(x)}\\\end{cases}}}$	若${\displaystyle x=0}$
	若${\displaystyle x\neq 0}$

p進賦值是個非阿基米得賦值。其值群是 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$。

• 令${\displaystyle X}$為緊黎曼曲面，${\displaystyle \mathbb {C} (X)}$為其上的亞純函數域。固定一點${\displaystyle x\in X}$。定義${\displaystyle v_{x}(f)}$為${\displaystyle f}$在${\displaystyle x}$的重根數，便得到${\displaystyle \mathbb {C} (X)}$上的賦值，其值群為${\displaystyle \mathbb {Z} }$。對於高維情形則須考慮其因子，但此時需考慮點的拉開，狀況較複雜。扎里斯基正是為了研究代數曲面而開始研究賦值論。
• 上述構造亦可套用到定義在任意域上的代數曲線。
• 利用函數域與數域的類比，可在${\displaystyle \mathbb {Q} }$上考慮p進賦值。根據奥斯特洛夫斯基定理，${\displaystyle \mathbb {Q} }$上的任意賦值皆等價於某個p進賦值。

• 有序交換群
• 賦值環