赝势

范数守恒（Norm-conserving）赝势是由 Hamann，Schlüter 和 Chiang（HSC）于1979年首先提出的。[3] 最初的HSC范数守恒赝势的形式如下：

${\displaystyle {\hat {V}}_{\textit {ps}}(r)=\sum _{l}\sum _{m}|Y_{lm}\rangle V_{lm}(r)\langle Y_{lm}|}$

其中 ${\displaystyle |Y_{lm}\rangle }$ 将某一单粒子波函数，如科恩－沈吕九轨道，映射至由 ${\displaystyle \{l,m\}}$ 标记的角动量。${\displaystyle V_{lm}(r)}$ 是作用在被映射部分的赝势。不同的角动量态会受到不同的赝势作用，也就是说HSC范数守恒赝势是非局域性的；这一点与作用在整个单粒子波函数上的局域性赝势是不同的。

构造的范数守恒赝势需满足以下两个条件：

1. 临界半径 ${\displaystyle r_{c}}$ 内，每一伪波函数的范数需与其所对应的全电子波函数相同，即[4]

${\displaystyle \int _{r<r_{c}}dr^{3}\phi _{\mathbf {R} ,i}({\vec {r}})\phi _{\mathbf {R} ,j}({\vec {r}})=\int _{r<r_{c}}dr^{3}{\tilde {\phi }}_{\mathbf {R} ,i}({\vec {r}}){\tilde {\phi }}_{\mathbf {R} ,j}({\vec {r}})}$，

其中 ${\displaystyle \phi _{\mathbf {R} ,i}}$ 和 ${\displaystyle {\tilde {\phi }}_{\mathbf {R} ,i}}$ 分别表示原子 ${\displaystyle \mathbf {R} }$ 上赝势的全电子参照态和伪参照态。

2. 全电子波函数和伪波函数在临界半径 ${\displaystyle r_{c}}$ 外需要完全一致。

超软（Ultrasoft）赝势为了进一步缩小必须的基组集合，松弛（relax）了范数守恒赝势中的限制条件，引入了一个广义的本征值问题[5]。若范数间的差别非零，则可以定义：

${\displaystyle q_{\mathbf {R} ,ij}=\langle \phi _{\mathbf {R} ,i}|\phi _{\mathbf {R} ,j}\rangle -\langle {\tilde {\phi }}_{\mathbf {R} ,i}|{\tilde {\phi }}_{\mathbf {R} ,j}\rangle }$,

因此赝哈密顿量的归一化本征态满足推广后的方程：

${\displaystyle {\hat {H}}|\Psi _{i}\rangle =\epsilon _{i}{\hat {S}}|\Psi _{i}\rangle }$,

其中，算符 ${\displaystyle {\hat {S}}}$ 被定义为：

${\displaystyle {\hat {S}}=1+\sum _{\mathbf {R} ,i,j}|p_{\mathbf {R} ,i}\rangle q_{\mathbf {R} ,ij}\langle p_{\mathbf {R} ,j}|}$,

${\displaystyle p_{\mathbf {R} ,i}}$ 是在截断频率内通过赝参照态（pseudo reference state）形成对偶空间的投影（projector），在截断频率外取的值为零：

${\displaystyle \langle p_{\mathbf {R} ,i}|{\tilde {\phi }}_{\mathbf {R} ,j}\rangle _{r<r_{c}}=\delta _{i,j}}$.

投影缀加平面波方法（PAW）与此相关[6]。