超積

超積的一般定義中，先選定指標集${\displaystyle I}$、對應每個下標${\displaystyle i\in I}$的结构${\displaystyle {\mathcal {M}}_{i}}$（具相同的表徵），以及${\displaystyle I}$上的超濾子${\displaystyle {\mathcal {U}}}$。通常僅考慮${\displaystyle I}$為無窮集，且${\displaystyle {\mathcal {U}}}$不為主超濾子的情況，即${\displaystyle {\mathcal {U}}}$的元素有齊${\displaystyle I}$的全部餘有限子集，但無任何有限子集。原因是，在主超濾子的情況下，所得的超積只會與其中一個因子同構，並無新的性質。

笛卡儿积

${\displaystyle \prod _{i\in I}{\mathcal {M}}_{i}}$

上的代數運算，是逐點計。例如，對於二元運算${\displaystyle +}$，${\displaystyle ({\boldsymbol {a}}+{\boldsymbol {b}})_{i}=a_{i}+b_{i}}$。然後，在笛氏積上，定義等价关系${\displaystyle \sim }$，使${\displaystyle {\boldsymbol {a}}\sim {\boldsymbol {b}}}$當且僅當

${\displaystyle \left\{i\in I:a_{i}=b_{i}\right\}\in {\mathcal {U}}}$

（應當理解為「${\displaystyle {\boldsymbol {a}}}$與${\displaystyle {\boldsymbol {b}}}$在大多數位置相等」）。

最後，所得的超積，是模${\displaystyle \sim }$的商集。所以，該超積有時記為

${\displaystyle \prod _{i\in I}{\mathcal {M}}_{i}/{\mathcal {U}}.}$

另一種看法是，在指標集${\displaystyle I}$上，定義一個有限可加的测度${\displaystyle m}$（弱於一般可數可加的條件），僅取${\displaystyle 0,1}$二值，若${\displaystyle A\in {\mathcal {U}}}$則稱${\displaystyle m(A)=1}$，否則稱${\displaystyle m(A)=0}$。然後在笛氏積中，兩個元素若在幾乎每個下標處皆相等，則視為等同。超積是如此生成的等價類的集合。

其他關係同理可作引申：

${\displaystyle R([{\boldsymbol {a}}^{1}],\ldots ,[{\boldsymbol {a}}^{n}])\iff \left\{i\in I:R^{{\mathcal {M}}_{i}}(a_{i}^{1},\ldots ,a_{i}^{n})\right\}\in {\mathcal {U}},}$

其中${\displaystyle [{\boldsymbol {a}}]}$表示${\displaystyle {\boldsymbol {a}}}$模${\displaystyle \sim }$所屬的等價類。

特別地，若每個${\displaystyle {\mathcal {M}}_{i}}$皆為有序域，則所得的超積亦然。

所謂超冪，意思是所有因子${\displaystyle {\mathcal {M}}_{i}}$皆相等的超積：

${\displaystyle {\mathcal {M}}^{I}/{\mathcal {U}}=\prod _{i\in I}{\mathcal {M}}/{\mathcal {U}}.\,}$

也可以推廣到${\displaystyle {\mathcal {U}}}$不為超濾子，而僅為${\displaystyle I}$上普通一個滤子的情況。此時所得的模型${\displaystyle \prod _{i\in I}{\mathcal {M}}_{i}/{\mathcal {U}}}$稱為約化積（英語：）。

超實數系是可數無窮多個（以自然數集編號）實數系的超積，其中所選的超濾子含有全部餘有限集。超實數系的大小次序擴展了實數之間的大小次序。例如，${\displaystyle \omega _{n}=n}$的序列${\displaystyle (\omega _{n})}$所在的等價類，記為超實數${\displaystyle \omega }$，比任意實數都要大，因為對於任意實數${\displaystyle r}$，${\displaystyle (\omega _{n})}$除有限項外皆比${\displaystyle r}$大。於是，${\displaystyle \omega }$可以理解成無窮大數。

類似地，可以定義非標準整數系、非標準複數系等，為相應標準結構的超積。

又考慮以下例子，以便理解超積中關係的定義。設超實數${\displaystyle \psi }$為序列${\displaystyle \psi _{n}=2n}$所在的等價類。由於對每個${\displaystyle n}$都有${\displaystyle \psi _{n}>n=\omega _{n}}$，在超積中，有${\displaystyle \psi >\omega }$，所以${\displaystyle \psi }$是較原先構造出的${\displaystyle \omega }$更大的無窮大數。又考慮與${\displaystyle \omega _{n}=n}$類似的序列${\displaystyle (\chi _{n})}$，令${\displaystyle n\neq 7}$時，${\displaystyle \chi _{n}=n}$，但${\displaystyle \chi _{7}=8}$。則雖然兩個序列${\displaystyle (\chi _{n})\neq (\omega _{n})}$，但兩者僅在有限個下標處不相等，故兩者相等的下標集合是超濾子的元素（因為是餘有限集），從而作為等價類，有${\displaystyle \omega =\chi }$。

大基数論中，有個標準構造是小心選取超濾子${\displaystyle {\mathcal {U}}}$，然後取整個集合論全類關於${\displaystyle {\mathcal {U}}}$的超積。此時，${\displaystyle {\mathcal {U}}}$的性質，對於所得超積的（高階）性質影響很大。例如，若${\displaystyle {\mathcal {U}}}$可數完備，則相應的超積仍是良基的。該範例在可測基數 § 定義有提及。

沃希定理（英語：），又稱超積基本定理，由耶日·沃希所證（波蘭語發音：[ˈjɛʐɨ ˈwɔɕ]）。定理斷言，任何一條一階邏輯式在超積${\displaystyle \prod {\mathcal {M}}_{i}/{\mathcal {U}}}$中為真，當且僅當使該公式在${\displaystyle {\mathcal {M}}_{i}}$中成立的指標${\displaystyle i}$的集合，是${\displaystyle {\mathcal {U}}}$的元素。後一個條件，可以直觀理解為「大多數」${\displaystyle {\mathcal {M}}_{i}}$皆認為該公式為真。嚴謹敍述如下：

設有表徵${\displaystyle \sigma }$，指標集${\displaystyle I}$，其上的超濾子${\displaystyle {\mathcal {U}}}$，且對每個${\displaystyle i\in I}$，有${\displaystyle \sigma }$結構${\displaystyle {\mathcal {M}}_{i}}$。又設${\displaystyle {\mathcal {M}}}$為${\displaystyle {\mathcal {M}}_{i}}$關於${\displaystyle {\mathcal {U}}}$之超積，即${\displaystyle {\mathcal {M}}=\prod _{i\in I}{\mathcal {M}}_{i}/{\mathcal {U}}}$。則對任意${\displaystyle n}$個多元組${\displaystyle a^{1},\ldots ,a^{n}\in \prod {\mathcal {M}}_{i}}$，其中${\displaystyle a^{k}=(a_{i}^{k})_{i\in I}}$，以及對任意${\displaystyle \sigma }$公式${\displaystyle \varphi }$，

${\displaystyle {\mathcal {M}}\models \varphi (a^{1},\ldots ,a^{n})\iff \left\{i\in I:{\mathcal {M}}_{i}\models \varphi (a_{i}^{1},\ldots ,a_{i}^{n})\right\}\in {\mathcal {U}}.}$

定理對公式${\displaystyle \varphi }$的複雜度歸納得證。${\displaystyle {\mathcal {U}}}$為超濾子（而不僅是濾子）的性質，在加入否定的一步用到。而在加存在量詞的一步，要用到选择公理。應用定理可得超實域的轉移原理。

  关于一列度量空間的超積，请见「超極限」。

模型論和集合論中，常考慮一列超冪的正極限（範疇論的餘極限）。模型论中，此構造稱為超極限（英語：）或極限超冪（英語：）。

從某結構${\displaystyle {\mathcal {A}}_{0}}$和超濾子${\displaystyle {\mathcal {U}}_{0}}$開始，構造出超冪${\displaystyle {\mathcal {A}}_{1}}$，並重複，得到${\displaystyle {\mathcal {A}}_{2}}$等。對每個${\displaystyle n}$，有典範對角嵌入${\displaystyle {\mathcal {A}}_{n}\hookrightarrow {\mathcal {A}}_{n+1}}$。在極限階段，如${\displaystyle {\mathcal {A}}_{\omega }}$，取此前所有結構的正極限，如此便可取超限多次超冪。

• 紧致性定理——若可滿足一族一階句子的任意有限條，則可全部滿足
• 勒文海姆–斯科伦定理——一階理論無法控制無窮模型的大小
• 轉移原理

• Bell, John Lane; Slomson, Alan B. [模型與超積：導論] reprint of 1974. Dover Publications. 2006 [1969]. ISBN 0-486-44979-3 （英语）.
• Burris, Stanley N.; Sankappanavar, H.P. [泛代數教程] Millennium. 2000 [1981] [2021-10-23]. （原始内容存档于2005-01-23） （英语）.