轴角

假如你站在地面上，选取重力的方向为负 z 方向。如果你左转，你将绕 z 轴旋转 ${\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}}$ 弧度 (或 90 度)。在轴角表示中，这将是

${\displaystyle \langle \mathrm {axis} ,\mathrm {angle} \rangle =\left({\begin{bmatrix}a_{x}\\a_{y}\\a_{z}\end{bmatrix}},\theta \right)=\left({\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}},{\frac {\pi }{2}}\right)}$

这可以表示为指示 z 方向的模为 ${\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}}$ 的旋转向量。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0\\0\\{\frac {\pi }{2}}\end{bmatrix}}}$

从旋转的轴角表示到旋转矩阵的变换使用指数映射。

${\displaystyle \exp \colon so(3)\to SO(3)}$

本质上说，通过使用泰勒展开，你可以得出在这两种表示之间的闭合形式的关系。给出一个轴 ${\displaystyle \omega \in \mathbb {R} ^{3}}$ 和角 ${\displaystyle \theta \in \mathbb {R} }$，等价的旋转矩阵给出为:

${\displaystyle R=\exp({\hat {\omega }}\theta )=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {({\hat {\omega }}\theta )^{k}}{k!}}=I+{\hat {\omega }}\theta +{\frac {1}{2}}({\hat {\omega }}\theta )^{2}+{\frac {1}{6}}({\hat {\omega }}\theta )^{3}+\cdots }$

${\displaystyle R=I+{\hat {\omega }}\left(\theta -{\frac {\theta ^{3}}{3!}}+{\frac {\theta ^{5}}{5!}}-\cdots \right)+{\hat {\omega }}^{2}\left({\frac {\theta ^{2}}{2!}}-{\frac {\theta ^{4}}{4!}}+{\frac {\theta ^{6}}{6!}}-\cdots \right)}$

${\displaystyle R=I+{\hat {\omega }}\sin(\theta )+{\hat {\omega }}^{2}(1-\cos(\theta ))}$

这里的 R 是 3x3 旋转矩阵而帽算子给出与叉积被乘数对应的反对称矩阵算符。

要获得旋转矩阵的轴角表示，计算旋转的角

${\displaystyle \theta =\arccos \left({\frac {\mathrm {trace} (R)-1}{2}}\right)}$

并接着使用它来找到轴

${\displaystyle \omega ={\frac {1}{2\sin(\theta )}}{\begin{bmatrix}R(3,2)-R(2,3)\\R(1,3)-R(3,1)\\R(2,1)-R(1,2)\end{bmatrix}}}$

要从轴角坐标变换到四元数使用下列表达式:

${\displaystyle \mathbf {q} =\left(\cos {\tfrac {\theta }{2}},\omega \sin {\tfrac {\theta }{2}}\right)}$

给出一个单位四元数 q = r + v，提取轴角坐标可以使用下列表达式:

${\displaystyle \theta =2\,\arccos(r)\,}$

${\displaystyle \omega ={\begin{cases}{\dfrac {\mathbf {v} }{\sin {\tfrac {\theta }{2}}}},&\mathrm {if} \;\theta \neq 0\\0,&\mathrm {otherwise} \end{cases}}}$