辛矩陣

凡扭對稱矩阵皆可逆，其逆矩陣可表為

${\displaystyle M^{-1}=\Omega ^{-1}M^{T}\Omega }$

其中，反對稱矩陣${\displaystyle \Omega }$具有如下運算性質：

${\displaystyle \Omega ^{T}=-\Omega =\Omega ^{-1}\,\!}$ ,

${\displaystyle \Omega ^{T}\Omega =\Omega \Omega ^{T}=I_{2n}\,\!}$ ,

${\displaystyle \Omega \Omega =-I_{2n}\,\!}$ ,

${\displaystyle det(\Omega )=1\,\!}$ 。

此外，扭對稱矩阵構成的集合在矩陣乘法下封閉，因此一個域${\displaystyle F}$上的所有${\displaystyle 2n}$階扭對稱矩阵構成一個群，記為${\displaystyle \mathrm {Sp} (2n,F)}$。事實上它是${\displaystyle \mathrm {GL} (2n,F)}$的閉代數子群，其維度為${\displaystyle n(2n+1)}$。當${\displaystyle F=\mathbb {R} ,\mathbb {C} }$時，${\displaystyle \mathrm {Sp} (2n,F)}$帶有自然的（複）李群結構。

由定義可知扭對稱矩阵的行列式等於${\displaystyle \pm 1}$；事實上，可以利用普法夫值的公式：

${\displaystyle {\mbox{Pf}}(M^{T}\Omega M)=\det(M){\mbox{Pf}}(\Omega )}$。

由於${\displaystyle M^{T}\Omega M=\Omega }$、${\displaystyle {\mbox{Pf}}(\Omega )\neq 0}$，遂導出${\displaystyle det(M)=1}$。

當${\displaystyle n=1}$時，有${\displaystyle \mathrm {Sp} (2)=\mathrm {SL} (2)}$。換言之：二階扭對稱矩陣即行列式等於一的二階矩陣。

在線性代數的抽象框架裡，我們可以用偶數維向量空間${\displaystyle V}$上的線性變換取代偶數階矩陣，並固定一個非退化反對稱雙線性形${\displaystyle \omega :V\times V\to F}$以取代矩陣${\displaystyle \Omega }$（賦有這類雙線性形的空間稱為扭對稱向量空間），如此便得到與基底無關的定義：

定義。一個扭對稱向量空間${\displaystyle (V,\omega )}$上的線性變換${\displaystyle L:V\to V}$若滿足

${\displaystyle \omega (Lu,Lv)=\omega (u,v)}$。

則稱${\displaystyle L}$為扭對稱變換。

考慮${\displaystyle \eta$ :=\wedge ^{\frac {\dim V}{2}}\omega } ，由於${\displaystyle L^{*}(\omega )=\omega }$，故${\displaystyle L^{*}(\eta )=\eta }$；另一方面，${\displaystyle L^{*}(\eta )=(\det L)\cdot \eta }$，於是得到${\displaystyle \det L=1}$。由此導出扭對稱變換之行列式值等於一。

固定${\displaystyle V}$的一組基，藉此將${\displaystyle L}$寫成矩陣${\displaystyle M}$，並將${\displaystyle \omega }$表成斜對稱矩陣${\displaystyle \Omega }$，便回到先前的定義：

${\displaystyle M^{T}\Omega M=\Omega }$。

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• . PlanetMath.
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