迭代冪次

以下是對迭代冪次函數的線性逼近法（以滿足連續函數的需要性，逼近法基於此函數的可微性質）的定義：

${\displaystyle {}^{x}a\approx {\begin{cases}\log _{a}(^{x+1}a)&x\leq -1\\1+x&-1<x\leq 0\\a^{\left(^{x-1}a\right)}&0<x\end{cases}}}$

由此可得：

逼近法	定義域
${\displaystyle \,{}^{x}a\approx x+1}$	for ${\displaystyle -1<x<0}$
${\displaystyle \,{}^{x}a\approx a^{x}}$	for ${\displaystyle 0<x<1}$
${\displaystyle \,{}^{x}a\approx a^{a^{(x-1)}}}$	for ${\displaystyle 1<x<2}$

及其他逼近值。不過，這個函數只是分段可微的；在x為整數的時候，函數的導數要乘以${\displaystyle \ln {a}}$。

${\displaystyle {\begin{aligned}{}^{{\frac {1}{2}}\pi }e&\approx 5.868...,\\{}^{-4.3}0.5&\approx 4.03335...\end{aligned}}}$

Hooshmand的手稿中有一個重要定理[1]：設${\displaystyle 0<a\neq 1}$。若${\displaystyle f:(-2,+\infty )\rightarrow \mathbb {R} }$ 是連續的並滿足以下條件：

• ${\displaystyle f(x)=a^{f(x-1)}\;\;{\mbox{for all}}\;\;x>-1,\;f(0)=1}$,
• ${\displaystyle f}$ 於 ${\displaystyle (-1,0)}$ 之上可微；
• ${\displaystyle f^{\prime }}$ 在 ${\displaystyle (-1,0),}$ 之上是一個單調函數；
• ${\displaystyle f^{\prime }(0^{+})=(\ln a)f^{\prime }(0^{-}){\mbox{ or }}f^{\prime }(-1^{+})=f^{\prime }(0^{-}).}$

由此，${\displaystyle f}$ 可於以下方程式中獨特地定義出來：

${\displaystyle f(x)=\exp _{a}^{[x]}(a^{x})=\exp _{a}^{[x+1]}(x)\quad {\mbox{for all}}\;\;x>-2}$，

當中，${\displaystyle (x)=x-[x]}$ 標示x的分數部分，以及${\displaystyle \exp _{a}^{[x]}}$ 是函數${\displaystyle \exp _{a}}$ 的${\displaystyle [x]}$-迭代函數。

以上四個條件中的第二個條件僅當${\displaystyle f}$ 在[-1, 0]之上是線性函數，由此可作為上述對${\displaystyle f}$ 的定義的證明。

對自然迭代冪次函數${\displaystyle {}^{x}e}$ 的線性逼近法是連續可微的，但其二階導數的輻角並不是整數值。Hooshmand為此導出了以下的這一個獨特定理：

若${\displaystyle f:(-2,+\infty )\rightarrow \mathbb {R} }$ 是一個連續函數並滿足以下條件:

• ${\displaystyle f(x)=e^{f(x-1)}\;\;{\mbox{for all}}\;\;x>-1,\;f(0)=1}$；
• ${\displaystyle f}$ 於${\displaystyle (-1,0)}$ 之上是凸函數；
• ${\displaystyle f^{\prime }(0^{-})\leq f^{\prime }(0^{+}).}$

那麼${\displaystyle f={\mbox{uxp}}}$。（這裡的${\displaystyle f={\mbox{uxp}}}$ 是Hooshmand給予自然迭代冪次函數的線性逼近法的名稱。）

這個定理的證明跟之前提到的證明法十分相似；遞迴方程式保證了${\displaystyle f^{\prime }(-1^{+})=f^{\prime }(0^{+}),}$ ，而${\displaystyle f}$ 的凸函數的性質僅當${\displaystyle f}$ 在(-1, 0)之上是線性的。

所以，自然迭代函數的線性逼近法是凸於${\displaystyle (-1,+\infty )}$ 之上的方程式${\displaystyle f(x)=e^{f(x-1)}\;\;(x>-1)}$ 的唯一解。所有其他充足可微的解在區間(-1, 0)之上必定存在一個拐點。

以下是對a ≠ e的迭代冪次函數的二次逼近法（逼近法基於此函數的可微性質）的定義：

${\displaystyle {}^{x}a\approx {\begin{cases}\log _{a}({}^{x+1}a)&x\leq -1\\{\frac {-\log(a)\;+\;{\sqrt {x[1\;-\;\log(a)^{2}]\;+\;1}}}{1\;-\;\log(a)}}&-1<x\leq 0\\a^{\left({}^{x-1}a\right)}&0<x\end{cases}}}$

這對所有${\displaystyle x>0}$ 可微，但並不二次可微。若${\displaystyle a=e}$，應採用線性逼近法。

有關於三次逼近法，以及一個能歸納出n 次逼近法的方法，詳見：[4]。

指數${\displaystyle 0^{0}}$ 是不連續定義的。所以，迭代冪次${\displaystyle \,{^{n}0}}$ 於早期提出的公式中亦並不被清晰定義。不過，${\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0}{^{n}}x}$ 是定義良好的，並存在：

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0}{}^{n}x={\begin{cases}1,&n{\mbox{ even}}\\0,&n{\mbox{ odd}}\end{cases}}}$

所以我們能連續地定義${\displaystyle {}^{n}0=\lim _{x\rightarrow 0}{}^{n}x}$。這等價於定義${\displaystyle 0^{0}=1}$。

在這推廣之下，${\displaystyle {}^{0}0=1}$，所以最初定義出來的法則${\displaystyle {^{0}a}=1}$ 依然成立。

由於複數可以作為指數，迭代冪次的底數可以為${\displaystyle \scriptstyle z\;=\;a+bi}$ 的形式，當中的${\displaystyle \scriptstyle i}$ 是−1的平方根。舉例來說，設${\displaystyle \scriptstyle z\;=\;i}$，對於${\displaystyle \scriptstyle {}^{n}z}$，其迭代冪次可由自然對數中的主枝來達成，並用歐拉公式得出以下關係：

${\displaystyle i^{a+bi}=e^{{\frac {1}{2}}{\pi i}(a+bi)}=e^{-{\frac {1}{2}}{\pi b}}\left(\cos {\frac {\pi a}{2}}+i\sin {\frac {\pi a}{2}}\right)}$

這表明了${\displaystyle \scriptstyle {}^{(n+1)}i\;=\;a'+b'i}$ 在任何${\displaystyle \scriptstyle {}^{n}i\;=\;a+bi}$ 的情況下的遞迴定義為：

${\displaystyle {\begin{aligned}a'&=e^{-{\frac {1}{2}}{\pi b}}\cos {\frac {\pi a}{2}}\\b'&=e^{-{\frac {1}{2}}{\pi b}}\sin {\frac {\pi a}{2}}\end{aligned}}}$

從而導出以下的逼近值：

${\displaystyle {}^{n}i}$	逼近值
${\displaystyle {}^{1}i=i}$	i
${\displaystyle {}^{2}i=i^{\left({}^{1}i\right)}}$	${\displaystyle 0.2079}$
${\displaystyle {}^{3}i=i^{\left({}^{2}i\right)}}$	${\displaystyle 0.9472+0.3208i}$
${\displaystyle {}^{4}i=i^{\left({}^{3}i\right)}}$	${\displaystyle 0.0501+0.6021i}$
${\displaystyle {}^{5}i=i^{\left({}^{4}i\right)}}$	${\displaystyle 0.3872+0.0305i}$
${\displaystyle {}^{6}i=i^{\left({}^{5}i\right)}}$	${\displaystyle 0.7823+0.5446i}$
${\displaystyle {}^{7}i=i^{\left({}^{6}i\right)}}$	${\displaystyle 0.1426+0.4005i}$
${\displaystyle {}^{8}i=i^{\left({}^{7}i\right)}}$	${\displaystyle 0.5198+0.1184i}$
${\displaystyle {}^{9}i=i^{\left({}^{8}i\right)}}$	${\displaystyle 0.5686+0.6051i}$

根據上一部分對於迭代冪次的逆向關係的定義，可得${\displaystyle \scriptstyle \,{}^{0}i\;=\;1}$ 及${\displaystyle \scriptstyle \,{}^{(-1)}i\;=\;0}$，當中負值的n 在虛數軸上會得出無窮的結果。在複平面當中，整個序列成螺旋形地趨向於極限${\displaystyle 0.4383+0.3606i}$，這個極限可理解為n 為無窮時，函數相對應的值。

這樣的迭代冪次序列由歐拉時期已開始被研究，但是由於序列的雜亂性而難以被理解。歷史上大部分有正式發表的研究皆集中於冪塔函數的收歛性。高運算效率電腦連同計算機代數系統和分形幾何系統的出現大大地促進了近代對於迭代冪次的研究。現時對迭代冪次的研究均建基於複動力學的普遍知識及對指數映射的專門研究。

迭代冪次可被推廣至無窮高（${\displaystyle {}^{n}a}$ 當中的n）。這是因為當底數在一個特定的區間之內而高度值趨向於無窮時，迭代冪次會收歛於一個有限的數值。舉例來說，${\displaystyle {\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}}}$ 收歛於2，因此可以說是等於2。對2的趨向性可從對以下小型有限冪塔的計算而看出來：

${\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{1.414}}}}}&={\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{1.63}}}}\\&={\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{1.76}}}\\&={\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{1.84}}\\&={\sqrt {2}}^{1.89}\\&=1.93\end{aligned}}}$

一般來說，有限冪塔${\displaystyle x^{x^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}}$ （定義為當n 趨向於無窮時${\displaystyle {}^{n}x}$ 的極限）收歛於e^−e ≤ x ≤ e^1/e，大約是位於0.066和1.44之間的區間，這是由萊昂哈德·歐拉所證明的。如果存在一個極限，這會是一個對於方程式y = x^y 的正實數解。所以，x = y^1/y。根據這個極限的定義，當x > e^1/e 時，x 的無窮迭代冪次不具收歛性，因為y^1/y 的最大值為e^1/e。

以上特性可以被推廣至複數底z，定義如下：

${\displaystyle {}^{\infty }z=z^{z^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}={\frac {\mathrm {W} (-\ln {z})}{-\ln {z}}}}$

當中的W（z）表示朗伯W函數。

由於極限y = ^∞x （如果存在的話，即當e^−e < x < e^1/e）必定滿足x^y = y，因而得出x ↦ y = ^∞x 是y ↦ x = y^1/y 的反函數（較低枝）。

為了維持原有法則：

${\displaystyle {^{(k+1)}a}=a^{({^{k}a})}}$

當${\displaystyle k}$ 為負值時，必須用到以下的遞迴關係：

${\displaystyle {^{k}a}=\log _{a}\left({^{(k+1)}a}\right)}$

所以：

${\displaystyle {}^{(-1)}a=\log _{a}\left({}^{0}a\right)=\log _{a}1=0}$

不過，當高度值為更小的負值時就不能以此方法良好地定義出來了，因為

${\displaystyle {}^{(-2)}a=\log _{a}\left({}^{-1}a\right)=\log _{a}0}$

這是定義不良好的。

更要注意的是，當${\displaystyle a=1}$ 時，任何根據法則對於${\displaystyle \,\!{^{(-1)}1}}$ 的定義都是一致的，因為

${\displaystyle {^{0}1}=1=1^{n}}$ 對於任何 ${\displaystyle \,\!n={^{(-1)}1}}$。

當前還未有對於推廣迭代冪次至${\displaystyle n}$ 為實數或複數值的共識解。以下提到了兩種不同的逼近法。

一般來說，問題在於對任何實數a > 0，找出一個能滿足以下條件的超冪函數 ${\displaystyle \,f(x)={}^{x}a}$ ，當中${\displaystyle x>-2}$ 並為實數：

• ${\displaystyle \,{}^{(-1)}a=0}$
• ${\displaystyle \,{}^{0}a=1}$
• ${\displaystyle \,{}^{x}a=a^{\left({}^{(x-1)}a\right)}}$ 對所有實數x > -1。
• 第四個條件通常為以下其中一個：

• A的連續性 需要（通常是指在a 和x 皆可變時，${\displaystyle {}^{x}a}$ 為連續，當中${\displaystyle x>0}$）。
• A的可微性 需要（可以是對於x 一次、二次、k 次，或是無窮可微）。
• A的規律性 需要（僅當對於x 二次可微），即是：

${\displaystyle \left({\frac {d^{2}}{dx^{2}}}f(x)>0\right)}$ 對於所有${\displaystyle x>0}$

對於第四個條件，不同的編者有不同的說法，而且亦視乎於採用何種逼近法。對於把迭代冪次推廣至實高，有兩種主要的逼近法，一種是建基於規律性 需要，另一種則建基於可微性 需要。這兩種逼近法似乎十分相異，皆因它們所得出的結果並不相符。

幸運地，任何在一段長度的區間內滿足到其中一種逼近法的解，皆能被推廣為一個對於所有正實數高度值的迭代冪次的通解。當${\displaystyle \,{}^{x}a}$ 在一段長度的區間內被定義，對任何${\displaystyle x>-2}$，整個函數的後續將能被輕易地定義出來。

其中一个简单的推广方式为：

${\displaystyle a[n]b=c}$

当且仅当${\displaystyle c[n]({\frac {1}{b}})=a,n>1}$ [5]。可以判断，当${\displaystyle n=2}$、${\displaystyle n=3}$时，乘法和幂次成立：${\displaystyle a\times b=c}$ 当且仅当${\displaystyle c\times ({\frac {1}{b}})=a}$;${\displaystyle a^{b}=c}$ 当且仅当${\displaystyle c^{\frac {1}{b}}=a}$

举例，当${\displaystyle n=4}$ 时, 计算 ${\displaystyle {}^{\frac {1}{2}}256}$ 和 ${\displaystyle {}^{\frac {3}{4}}256}$ ： ${\displaystyle {}^{2}4=4^{4}=256}$, 则 ${\displaystyle {}^{\frac {1}{2}}256=4}$。 ${\displaystyle {}^{3}2={2}^{{2}^{2}}=16}$,则${\displaystyle {}^{\frac {1}{3}}16=2}$； 由 256= 16^2 = 16^(16^^(1/3)) = 16^^(1+1/3) = 16^^(4/3) 得 256^^(3/4) = 16。

以下為有關猜想[6]：函數F 為方程式F(z+1)=exp(F(z)) 的解並滿足以下附加條件：當z逼近於±i ∞及F 在整個複數z 平面當中為全純函數，F(0)=1 及F(z)逼近於對數的不動點 （大約為 0.31813150520476413531 ± 1.33723570143068940890i）。