回文数

虽然通常考虑十进制回文数，但回文性质可延伸到任何记数系统的自然数。以b（b≥2）为底的数n（n＞0）可按标准方式表示为k＋1个数${\displaystyle a_{i}}$，即

${\displaystyle n=\sum _{i=0}^{k}a_{i}b^{i}}$

其中，如惯例，对所有i 都要求${\displaystyle 0\leq a_{i}\leq b}$，且${\displaystyle a_{k}\neq 0}$。则n称为回文数，当且仅当对所有i 都有${\displaystyle a_{i}=a_{k-i}}$。零在任何基均写作0并由定义认为它也是回文数。

另一种等价定义如下：在任何基b，当且仅当：

• n是一位数，或
• n为两位相同数字，或
• n由三位或更多数字组成，其首位和末位数字相同，且从n中去掉该首位和末尾数字后的数也是回文

的数n称为回文。

10基数中所有单位数｛0、1、2、3、4、5、6、7、8、9｝都是回文数。

两位回文数有9个：

｛11、22、33、44、55、66、77、88、99｝

三位回文数有90个：

｛101、111、121、131、141、151、161、171、181、191、…、909、919、929、939、949、959、969、979、989、999｝

四位回文数也有90个：

｛1001、1111、1221、1331、1441、1551、1661、1771、1881、1991、…、9009、9119、9229、9339、9449、9559、9669、9779、9889、9999｝

小于10⁴的回文数共199个，小于10⁵的回文数有1099个，对其它的10的整数幂10ⁿ来说，分别有：1999、10999、19999、109999、199999、1099999、…（OEIS數列A070199）个回文数。下表列出了一些常见类型的回文数在这些10的幂为界限下的个数（其中包括将0也作为回文数）：

十进制以外的数系也有回文数，如二进制回文数有：

0、1、11、101、111、1001、1111、10001、10101、11011、11111、100001、…

以上这些数在十进制即0、1、3、5、7、9、15、17、21、27、31、33、…（OEIS數列A006995）。梅森素数是二进制回文素数的子集。

某基数的回文数在另一基数通常不是回文数，像16461₁₀＝404D₁₆（下标数字表示基数，n₁₆表示以十六进制写出的n）。然而，有些数字在几套進制都是回文数（称为“协回文”，copalindromic），如105₁₀在五套不同進制都是回文数：1221₄＝151₈＝77₁₄＝55₂₀＝33₃₄；十进制数1991在十六进制为7C7，也是回文。

7的一些幂在18進制是回文：

• 7³＝ 111
• 7⁴＝ 777
• 7⁶＝ 12321
• 7⁹＝1367631

任何数n在所有b≥n＋1的基数b都是回文（这时n是单位数）；在基为n－1时同样也是回文数（这时n就成了11_n－1）。如果對於2≤b≤n－2，某数在基b都是非回文数，则称其是严格非回文数（Strictly non-palindromic number）。如6在二進制是110，三進制是20，四進制是12，都不是回文數，是嚴格非回文數。這樣的數其中一種特質是6以上的數都是質數，首幾項：1、2、3、4、6、11、19、47、53、79、103、… （OEIS數列A016038）。

• 利克瑞尔数（）
• 回文
• 回文素数

• Jason Doucette－196回文数探索 / 最终产生回文数中迭代次数最多的（页面存档备份，存于）
• 196及其它利克瑞尔数（页面存档备份，存于）
• 10萬以下的回文数（页面存档备份，存于）来自Ask Dr. Math