遞迴關係式

${\displaystyle x_{0}=1,x_{n+1}=x_{n}+2}$為等差數列${\displaystyle 1,3,5,7,.....}$

一般地，${\displaystyle x_{0}=a,\ x_{n+1}=x_{n}+d}$為等差數列，其中${\displaystyle a}$為首項，${\displaystyle d}$為公差。

${\displaystyle x_{0}=1,x_{n+1}=2x_{n}}$為等比數列${\displaystyle 1,2,4,8,.....}$

一般地，${\displaystyle a\neq 0}$且${\displaystyle r\neq 0}$，${\displaystyle x_{0}=a,\ x_{n+1}=rx_{n}}$為等比數列，其中${\displaystyle a}$為首項，${\displaystyle r}$為公比。

${\displaystyle 0!=1}$

${\displaystyle n!=n\times (n-1)!}$

因此最小的幾個階乘為${\displaystyle 1,1,2,6,24,120,720,5040,.....}$、

設${\displaystyle x_{k}=x^{k}+x^{-k}}$，則

${\displaystyle x_{1}=x_{1}}$

${\displaystyle x_{2}=(x_{1})^{2}-2}$

${\displaystyle x_{3}=x_{1}\cdot x_{2}-x_{1}}$

${\displaystyle x_{4}=(x_{2})^{2}-2}$

${\displaystyle x_{5}=x_{2}\cdot x_{3}-x_{1}}$

${\displaystyle x_{6}=(x_{3})^{2}-2}$

${\displaystyle x_{7}=x_{3}\cdot x_{4}-x_{1}}$

${\displaystyle \cdots \cdots }$

${\displaystyle x_{2k}=(x_{k})^{2}-2}$

${\displaystyle x_{2k+1}=x_{k}\cdot x_{k+1}-x_{1}}$

一般情况下，常系数线性差分方程可以写作：

${\displaystyle \sum _{k=0}^{N}a_{k}y(n-k)=\sum _{r=0}^{M}b_{r}x(n-r)}$

则对应的齐次方程形式为：

${\displaystyle \sum _{k=0}^{N}a_{k}y(n-k)=0}$

则特征方程为：

${\displaystyle \sum _{k=0}^{N}a_{k}\alpha ^{N-k}=0}$

当特征根非重根时，齐次解为：

${\displaystyle y_{h}(n)=\sum _{i=1}^{N}C_{i}\alpha _{i}^{n}}$

当特征根为重根时，若${\displaystyle \alpha _{1}}$为特征方程的${\displaystyle K}$重根，齐次解为：

${\displaystyle y_{h}(n)=\sum _{i=1}^{K}n^{K-i}\alpha _{1}^{n}}$

特解${\displaystyle y_{p}(n)=D(n)}$的形式由激励函数${\displaystyle x(n)}$的形式决定。

一般情况，当激励函数${\displaystyle x(n)}$代入方程。

方程右方出现${\displaystyle n^{k}}$的形式，则特解选择

${\displaystyle y_{p}(n)=A_{0}n^{k}+A_{1}n^{k-1}+\cdots +A_{k}}$

当方程右方出现${\displaystyle a^{n}}$的形式，则特解选择

当${\displaystyle a}$不是特征根时

${\displaystyle y_{p}(n)=Aa^{n}}$

当${\displaystyle a}$是特征根时

${\displaystyle y_{p}(n)=(A_{1}n+A_{0})a^{n}}$

当${\displaystyle a}$为${\displaystyle r}$重根时

${\displaystyle y_{p}(n)=(A_{r}n^{r}+A_{r-1}n^{r-1}+\cdots +A_{1}n+A_{0})a^{n}}$

将特解带入原方程，求出待定系数。根据边界条件，可求出齐次节待定系数。

我们用待定系数法来解以下的常系数非齐次线性递推关系：

${\displaystyle a_{n+1}=2a_{n}+3^{n}+5n\,}$

对应的齐次递推关系

${\displaystyle b_{n+1}=2b_{n}\,}$

的齐次解是：

${\displaystyle b_{n}=c_{1}2^{n}\,}$

我们猜测特解的形式为：

${\displaystyle a_{n}=c_{2}3^{n}+c_{3}n+c_{4}\,}$

代入原递推关系中，我们便得到：

${\displaystyle c_{2}3^{n+1}+c_{3}(n+1)+c_{4}=2(c_{2}3^{n}+c_{3}n+c_{4})+3^{n}+5n\,}$

比较等式两端的${\displaystyle 3^{n}}$项的系数，可得：

${\displaystyle 3c_{2}=2c_{2}+1\,}$

${\displaystyle c_{2}=1\,}$

比较等式两端的${\displaystyle n}$项的系数，可得：

${\displaystyle c_{3}=2c_{3}+5\,}$

${\displaystyle c_{3}=-5\,}$

比较等式两端的常数项，可得：

${\displaystyle c_{3}+c_{4}=2c_{4}\,}$

${\displaystyle c_{4}=c_{3}=-5\,}$

因此原递推关系的通解为：

${\displaystyle a_{n}=c_{1}2^{n}+3^{n}-5n-5\,}$