運算次序

一般用於算術和编程语言的運算次序如下：[1]

1. 乘冪和方根 ${\displaystyle x^{y}}$ ${\displaystyle {\sqrt {}}}$
2. 乘除 ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle \div }$
3. 加減 ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle -}$

當算式中同時存在多層的運算子，最高層級的運算子就優先計算。

因為加法與乘法的交換律和結合律，加法可以按任何左右次序計算，乘法亦然。但運算子混合起來時需要依從運算次序。

在某些場合，把除換成倒數相乘或者把減當成加的相反對於計算更佳。例如在計算機科學中，這允許用少一點二元運算並讓簡化了的表示式更容易利用交換律和結合律。轉換後，3 ÷ 4 = 3 × 1/4，即3和4的商等於3和1/4的積；3 − 4 = 3 + (−4)，3和4的差等於3與−4的和。於是，1 − 3 + 7 可以想像成 1 + (−3) + 7，三個項用任何次序相加都會得出答案是5。

根號√傳統上是透過上面的橫線（線括號）框下被开方数（這避免了框下被开方数時需要括號）。其他函數用括號框著輸入來避免混淆。有時候，當輸入只是單項式，括號可被省略。所以 sin 3x = sin(3x)，而 sin x + y = sin(x) + y，因為 x + y 不是單項式。[1]不少計算機和编程语言都要求函數加上括號。

組合符號可以凌駕這個一般的運算次序。[1]組合符號可以視為單獨表示式。[1]組合符號可以用結合律和分配律去除，而組合符號內的表示式簡單得不會在符號移除後造成混淆的時候，就應該移除。

例子

${\displaystyle {\sqrt {1+3}}+5={\sqrt {4}}+5=2+5=7.}$

分數線同樣是組合符號：

${\displaystyle {\frac {1+2}{3+4}}+5={\frac {3}{7}}+5.}$

為了方便閱讀，其他組合符號例如大括弧 { } 或中括弧 [ ] 會與括弧 ( ) 並用。例如：

${\displaystyle [(1+2)-3]-(4-5)=[3-3]-(-1)=1.}$

基本上，各國都有不同的口訣讓學生記著運算次序。英文的口訣會以運算子的字首構成。

• 中文地區一般以「先乘除後加減」作為口訣，但是當中沒有涵蓋指數
• 美國普遍使用「PEMDAS」，代表「Parentheses（括號）, Exponents（指數）, Multiplication（乘）/Division（除）, Addition（加）/Subtraction（減）」[8]
• 加拿大與紐西蘭使用「BEMDAS」，代表「Brackets（括號）, Exponents（指數）, Multiplication（乘）/Division（除）, Addition（加）/Subtraction（減）」[8]
• 英國使用「BOMDAS」或「BIMDAS」，與前者相比，這兩個縮寫純粹改變了指數的詞彙（Orders/Indices）[9]
• 其他英語地區普遍使用「BOMDAS」

這些口訣都有機會導致誤導，例如誤以為「先加後減」，就會錯誤地運算。[5]

10 - 3 + 2

正確答案是 9（但如果先加後減就會變成 5）。

• 运算
• 6÷2(1+2)