遍历理论

概率空间上的一个保测变换T 称为遍历的，如果在T 下不变的可测集的测度必为0或1。这个性质的一个旧术语是度量推移的。

考虑适定的函数f的时间平均。这定义为从某个初始点x开始的时间间隔T的取值的平均。

${\displaystyle {\hat {f}}(x)=\lim _{n\rightarrow \infty }\;{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}f\left(T^{k}x\right)}$

再考虑f的空间平均和相位平均，定义为

${\displaystyle {\bar {f}}=\int f\,d\mu }$

其中μ是概率空间的测度。

一般来说，时间平均和空间平均可能不同。 但是若变换是遍历的，而该测度不变，则时间均值和空间均值几乎处处相等。这就是著名的遍历定理，其抽象形式由乔治·戴维·伯克霍夫给出。平均分布定理是遍历定理的一个特殊情况，专门处理单位间隔上的概率分布。

• 始态复现定理

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• Probability : Theory and Examples (Richard Durrett, Thomson, ISBN 0-534-42441-4)
• Peter Walters, An Introduction to Ergodic Theory