機率空間

機率空間 ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ 是一個總測度為1的測度空間（即 ${\displaystyle P(\Omega )=1}$）。

第一項 ${\displaystyle \Omega }$ 是一個非空集合，稱作樣本空間。${\displaystyle \Omega }$ 里的元素稱作结果或樣本輸出，可寫作ω。

第二項 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ 是一个 σ-代數。事件是樣本空間 ${\displaystyle \Omega }$ 的子集，${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ 由事件构成，是樣本空間 ${\displaystyle \Omega }$ 冪集 ${\displaystyle 2^{\Omega }}$ 的一個非空子集。集合 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ 必須是一個σ-代數，即满足下面三个性质:

1. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ 包含全集，即 ${\displaystyle \Omega {\in }{\mathcal {F}}}$；
2. 若 ${\displaystyle A{\in }{\mathcal {F}}}$，則补集 ${\displaystyle {\bar {A}}{\in }{\mathcal {F}}}$；
3. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ 对可数并封闭，即对于 ${\displaystyle A_{n}{\in }{\mathcal {F}}}$，${\displaystyle n=1,2,...}$，那么${\displaystyle \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}{\in }{\mathcal {F}}}$

空间 ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}})}$ 稱為可測空間，在此集合上可定義其機率测度。

第三項 ${\displaystyle P}$ 稱為機率，或者機率測度。這是一個從集合 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ 到實數域 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 的函數。概率测度 ${\displaystyle P:{\mathcal {F}}{\to }\mathbb {R} }$ 需要满足

1. 可数可加性：如果 ${\displaystyle \{A_{i}\}_{i=1}^{\infty }\subset {\mathcal {F}}}$ 为两两不交的集合，那么 ${\displaystyle P\left(\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }P(A_{i})}$。
2. 全空间的概率为 1，即 ${\displaystyle P(\Omega )=1}$。

機率測度給每個事件賦予一個 0 和 1 之間的機率值。

機率測度經常以粗體表示，例如 ${\displaystyle \mathbb {P} }$ 或 ${\displaystyle \mathbf {P} }$ ，也可用符號 ${\displaystyle \Pr }$ 來表示。

離散機率理論僅需要可數集的樣本空間 ${\displaystyle \Omega }$。機率指的是由機率質量函數 ${\displaystyle p:\Omega \to [0,1]}$求得${\displaystyle \Omega }$上的使得 ${\displaystyle \sum _{\omega \in \Omega }p(\omega )=1}$ 的點。${\displaystyle \Omega }$ 全部的子集合可視為隨機事件（也就是${\displaystyle {\mathcal {F}}=2^{\Omega }}$為冪集）。機率測度可簡寫為

$${\displaystyle (*)\qquad P(A)=\sum _{\omega \in A}p(\omega )\quad {\text{for all }}A\subseteq \Omega }$$

使用 σ-代數 ${\displaystyle {\mathcal {F}}=2^{\Omega }}$能夠完整描述樣本空間。一般來說，σ-代數相當於一個有限或可數的集合劃分${\displaystyle \Omega =B_{1}\cup B_{2}\cup \dots }$，事件A的一般型${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}$ 且${\displaystyle A=B_{k_{1}}\cup B_{k_{2}}\cup \dots }$

${\displaystyle p(\omega )=0}$是被定義允許的情況但極少使用，因為這樣的${\displaystyle \omega }$可以安全地從樣本空間中移除。

如果Ω不可數，存在某些ω使得p(ω) ≠ 0的情況仍然存在，那些ω稱為原子。他們大部分都是可數的集合（有可能為空集合），其可能性為所有原子機率的和。如果這個和等於1，那麼其他的點可以安全地從樣本空間中移除，回歸離散模式。反之，如果和少與1（有可能為零）那麼機率空間分解成為離散（原子）部分（可能為零），以及非原子部分。

若樣本空間是關于一個機會均等的拋硬幣動作，則樣本輸出為“正面”或“反面”。事件為：

• {正面}，其機率為0.5。
• {反面}，其機率為0.5。
• { }=∅ 非正非反，其機率為0.
• {正面，反面}，不是正面就是反面，這是Ω，其機率為1。