邻接矩阵

無向圖的鄰接矩陣計算方法是每條邊爲對應的單元加上1，而每個自環加上2。這樣讓某一節點的度數可以通過鄰接矩陣的對應行或者列求和得到。

無向圖	鄰接矩陣
	${\displaystyle {\begin{pmatrix}2&1&0&0&1&0\\1&0&1&0&1&0\\0&1&0&1&0&0\\0&0&1&0&1&1\\1&1&0&1&0&0\\0&0&0&1&0&0\end{pmatrix}}}$ 从左到右、从上到下分别代表1–6节点。

有向图的邻接矩阵可以是不对称的。我们可以定义有向图的邻接矩阵中的某个元素A_ij代表：

1. 从i指向j的边的数目
2. 从j指向i的边的数目

第一种定义广泛用于图论和社会网络分析（如：社会学、政治学、经济学、心理学）。[2]第二种更加常见于其他应用学科（如：动态系统、物理、网络学），这些学科有时用邻接矩阵A表示图上的线性动力。[3]

在第一种定义下，有向图的某个节点的入度可以通过对应的列（column）求和而得，出度可以通过对应的行（row）求和而得。在第二种定义下，入度可以通过对应的行（row）求和而得，出度可以通过对应的列（column）求和而得。

有向圖	鄰接矩陣
	${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1&0&1\\0&0&0&1\\1&1&0&0\\0&0&1&0\\\end{pmatrix}}}$ 从左到右、从上到下分别代表1–4节点。 采用有向图邻接矩阵的第一种定义

A、B、C、D四人传球6次，从A开始，最终回到A手里，有多少种传法？

非矩阵解法：

1. m个人传n次球，${\displaystyle \sum _{i=1}^{[{\frac {n}{2}}]}(m-1)^{i}(m-2)^{n-2i}C_{n-1-i}^{i-1}}$[5]
2. ${\displaystyle (m-1)P_{n+1}=1-P_{n},P_{n}={\frac {1}{m}}(1-({\frac {-1}{m-1}})^{n-1})}$，将P_n乘上总传法数${\displaystyle (m-1)^{n}}$[5]

矩阵解法：

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}0&1&1&1\\1&0&1&1\\1&1&0&1\\1&1&1&0\\\end{bmatrix}},A^{6}={\begin{bmatrix}183&182&182&182\\182&183&182&182\\182&182&183&182\\182&182&182&183\\\end{bmatrix}}}$

邻接矩阵法是比较简单的图论问题建模方法，它以方形二维阵列的形式存储图的数据。它在算法应用中的主要特点包括：

• 各元素的取值与边的输入顺序无关。[1]
• 利用输入数据建图之前，因为不一定每对点之间都有边相连，所以先要执行将所有边的权值设为无效值的初始化步骤。以此法建模有${\displaystyle n}$个点和${\displaystyle m}$条边的图，其初始化需要${\displaystyle O(n^{2})}$的时间复杂度，建图的时间则为${\displaystyle O(m)}$。[1]
• 以此法建模有${\displaystyle n}$个点和${\displaystyle m}$条边的图，其内存空间开销的规模是${\displaystyle O(n^{2})}$。[1]

主要缺点包括：

• 遍历元素时，存在的边和不存在的边都不得不检查一遍，导致遍历效率低。[1]
• 不能存储重复的边。[1]
• 当顶点数量多时，内存空间开销会很大。[1]
• 存储稀疏图时会得到稀疏矩阵，空间利用率不高。[1]
• 存储无向图时，由于此时矩阵是对称的，而对称位置上的成对元素保存的信息是重复的，导致空间利用率不高。

在随机过程理论中，表示单步状态变化的转移矩阵就是一种邻接矩阵。