配丛

设 π : E → X 是拓扑空间 X 上一个纤维丛，带有结构群 G 及典型纤维 F。由定义，有 G 在纤维 F 上一个左作用（作为变换群）。此外假设这个作用是有效的[2]。存在 E 的一个由 X 的一个开覆盖 U_i，以及一族纤维映射

φ_i : π^-1(U_i) → U_i × F

组成的局部平凡化，使得转移映射由 G 的元素给出。更确切地，存在连续函数 g_ij : (U_i ∩ U_j) → G 使得

ψ_ij(u,f) := φ_i o φ_j^-1(u,f) = (u,g_ij(u)f) 对每个 (u,f) ∈ (U_i ∩ U_j) × F。

现在设 F′ 是一个制定的拓扑空间，装备有 G 的一个连续左作用。则相配于 E、具有纤维 F′ 的丛是一个丛 E′ 具有从属于覆盖 U_i 其转移函数为：

ψ′_ij(u,f′) = (u, g_ij(u) f′)，对 (u,f′ ) ∈(U_i ∩ U_j) × F′

这里 G-值函数 g_ij(u) 与由原先的丛 E 的局部平凡化得到的相同。

这个定义显然遵守转移函数的上链条件，因为在每一种情形它们由同样 G-值函数系统给出（使用另一个局部平凡化，如果有必要使用一般的加细过程，则 g_ij 通过相同的上边缘变换）。从而，由纤维丛构造定理（fiber bundle construction theorem），这样便产生了所要求的具有纤维 F′ 的纤维丛 E′ 。

和前面一样，假设 E 是一个具有结构群 G 的纤维丛。当 G-左自由且传递作用于 F′ 的特例时，所以 F′ 是 G 在自身上左作用的一个主齐性空间，则相配的丛 E′ 称为相配于纤维丛 E 的主 G-丛。如果此外新纤维 F′ 等同于 G（从而 F′ 不仅有左作用也继承了 G 的一个右作用），则 G 在 F′ 上的右作用诱导了 G 在 E′ 上的右作用。通过选取等同化，E′ 成为通常意义的主丛。注意，尽管没有典范的方式选取 G 的一个主齐性空间上的右作用，任何这样的作用将得出相同的具有结构群 G 的承载纤维丛（因为这是由 G 的左作用得到），而且作为 G-空间在存在一个整体定义的 G-值函数联系两者的意义下同构。

以这样方式，装备一个右作用的主 G-丛通常视为确定具有结构群 G 的纤维丛的数据之一部分，因为对纤维丛我们可以由配丛构造法来建构主丛。在下一节中，我们经相反的道路利用一个纤维积得到任何纤维丛。

设 π : P → X 是一个主 G-丛，令 ρ : G → Homeo(F) 是 G 在空间 F上一个连续左作用（在连续范畴中，我们需有光滑流形上一个光滑作用）。不失一般性，我们取作用是有效的（ker(ρ) = 1）。

G 在 P × F 上定义 G 的一个右作用为

${\displaystyle (p,f)\cdot g=(p\cdot g,\rho (g^{-1})f).}$

然后我们将这个作用等化得到空间 E = P ×_ρ F = (P × F) /G。将 (p,f) 的等价类记为 [p,f]。注意到

${\displaystyle [p\cdot g,f]=[p,\rho (g)f]}$，对所有 ${\displaystyle g\in G.}$

由 π_ρ([p,f]) = π(p)，定义投影映射 π_ρ : E → X。注意这是良定义的。

那么 π_ρ : E → X 是一个纤维丛，具有纤维 F 与结构群 G。转移函数由 ρ(t_ij) 给出，这里 t_ij 是主丛 P 的转移函数。

向量丛的例子包括：引入一个度量导致结构群由一个一般线性群约化为正交群 O(n)；一个实丛的复结构的存在性导致结构群由实一般线性群 GL(2n,R) 约化为复线性群 GL(n,C)。

另一个重要的情形实寻找一个秩 n 向量丛 V 的作为秩 k 与秩 n-k 子丛的惠特尼和（Whitney sum），这将导致结构群由 GL(n,R) 约化为 GL(k,R) × GL(n-k,R).

我们也能将叶状结构的条件表述为将切丛的结构群约化为分块矩阵子群——但这里约化只是必要条件，还有一个可积性条件使得弗罗贝尼乌斯定理可以使用。