叶状结构

为给叶状结构下精确定义，需先定义一些辅助元素。

3维叶状图（foliated chart），n = 3、q = 1。斑（plaque）是2维的，横截（transversal）是1维的。

${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$中的矩邻域是形式为${\displaystyle B=J_{1}\times \cdots \times J_{n}}$的开子集，其中${\displaystyle J_{i}}$是第i个坐标轴上（可能无界）的相对开区间。若${\displaystyle J_{1}}$具有形式${\displaystyle (a,\ 0]}$，则称B具有边界[6]

${\displaystyle \partial B=\left\{\left(0,x^{2},\ldots ,x^{n}\right)\in B\right\}.}$

在下面的定义中，坐标图（coordinate chart）被认为是在${\displaystyle \mathbb {R} ^{p}\times \mathbb {R} ^{q}}$，允许流形具有边界和（凸）角的可能。

n-流形M上余维为q的叶状图（foliated chart）是${\displaystyle (U,\ \varphi )}$，其中${\displaystyle U\subset M}$是开集，${\displaystyle \varphi :U\to B_{\tau }\times B_{\pitchfork }}$是微分同胚，${\displaystyle B_{\pitchfork }}$是${\displaystyle \mathbb {R} ^{q}}$中的矩邻域，${\displaystyle B_{\tau }}$是${\displaystyle \mathbb {R} ^{p}}$中的矩邻域。集合${\displaystyle P_{y}=\varphi ^{-1}(B_{\tau }\times \{y\})}$，其中${\displaystyle y\in B_{\pitchfork }}$称作这叶状图的斑（plaque）。${\displaystyle \forall x\in B_{\tau }}$，集合${\displaystyle S_{x}=\varphi _{x}=\varphi ^{-1}(\{x\}\times B_{\pitchfork })}$称作叶状图的横截（transversal）。集合${\displaystyle \partial _{\tau }U=\varphi ^{-1}(B_{\tau }\times (\partial B_{\pitchfork }))}$称作U的切边界（tangential boundary），${\displaystyle \partial _{\pitchfork }U=\varphi ^{-1}((\partial B_{\tau })\times B_{\pitchfork })}$称作U的横截边界（transverse boundary）。[7]

叶状图是所有叶状结构的基本模型，斑就是叶。${\displaystyle B_{\tau }}$表示“B-切”，${\displaystyle B_{\pitchfork }}$表示“B-截”。还有多种可能。若${\displaystyle B_{\pitchfork },\ B_{\tau }}$都有空边界，则叶状图就建模了无界n-流形的余维-q叶状结构。若其中一个矩邻域有界，则叶状图建模了有界无角n-流形的叶状结构的各种可能性。具体来说，若${\displaystyle \partial B_{\pitchfork }\neq \varnothing =\partial B_{\tau }}$，则${\displaystyle \partial U=\partial _{\tau }U}$是斑之并，斑表示的叶状结构切于边界。若${\displaystyle \partial B_{\tau }\neq \varnothing =\partial B_{\pitchfork }}$，则${\displaystyle \partial U=\partial _{\pitchfork }U}$是横截之并，叶状结构横截于边界。最后，若${\displaystyle \partial B_{\pitchfork }\neq \varnothing \neq \partial B_{\tau }}$，则建模了叶状流形（foliated manifold），角分开了切边界与横截边界。[7]

(a) 与边界相切的叶状结构${\displaystyle \partial B_{\pitchfork }\neq \varnothing =\partial B_{\tau }}$； (b) 与边界相截的叶状结构${\displaystyle \partial B_{\tau }\neq \varnothing =\partial B_{\pitchfork }}$； (c) 角将切边界与横截边界隔开的叶状结构${\displaystyle \partial B_{\pitchfork }\neq \varnothing \neq \partial B_{\tau }}$。

n-流形M上余维为q的${\displaystyle C^{r}\ (0\leq r\leq \infty )}$类叶状图册（foliated atlas）是余维为q的叶状图的${\displaystyle C^{r}}$-图册${\displaystyle {\mathcal {U}}=\{(U_{\alpha },\varphi _{\alpha })\mid \alpha \in A\}}$，只要P、Q在${\displaystyle {\mathcal {U}}}$的不同图中都是斑，P ∩ Q在P、Q中都是开的，它们就是相干叶状结构（coherently foliated）。[8]

重新表述相干叶状图的有效方法是将${\displaystyle w\in U_{\alpha }\cap U_{\beta }}$写作：[9]

${\displaystyle \varphi _{\alpha }(w)=\left(x_{\alpha }(w),y_{\alpha }(w)\right)\in B_{\tau }^{\alpha }\times B_{\pitchfork }^{\alpha },}$

${\displaystyle \varphi _{\beta }(w)=\left(x_{\beta }(w),y_{\beta }(w)\right)\in B_{\tau }^{\beta }\times B_{\pitchfork }^{\beta }.}$

${\displaystyle (U_{\alpha },\ \varphi _{\alpha })}$常写作${\displaystyle (U_{\alpha },\ x_{\alpha },\ y_{\alpha })}$，其中[9]

${\displaystyle x_{\alpha }=\left(x_{\alpha }^{1},\dots ,x_{\alpha }^{p}\right),}$

${\displaystyle y_{\alpha }=\left(y_{\alpha }^{1},\dots ,y_{\alpha }^{q}\right).}$

在${\displaystyle \varphi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })}$上，坐标公式可改写为[9]

${\displaystyle g_{\alpha \beta }\left(x_{\beta },y_{\beta }\right)=\varphi _{\alpha }\circ \varphi _{\beta }^{-1}\left(x_{\beta },y_{\beta }\right)=\left(x_{\alpha }\left(x_{\beta },y_{\beta }\right),y_{\alpha }\left(x_{\beta },y_{\beta }\right)\right).}$

${\displaystyle U_{\alpha }}$的每个斑都会遇到${\displaystyle U_{\beta }}$的2个斑。

${\displaystyle (U_{\alpha },\ x_{\alpha },\ y_{\alpha }),\ (U_{\beta },\ x_{\beta },\ y_{\beta })}$是相干叶状结构这一条件意味着，若${\displaystyle P\subset U_{\alpha }}$是斑，则${\displaystyle P\cap U_{\beta }}$的连通分量位于${\displaystyle U_{\beta }}$的（可能不同的）斑中。等价地，由于${\displaystyle U_{\alpha },\ U_{\beta }}$的斑分别是横坐标${\displaystyle y_{\alpha },\ y_{\beta }}$的水平集，${\displaystyle \forall z\in U_{\alpha }\cap U_{\beta }}$都有邻域，其中公式

${\displaystyle y_{\alpha }=y_{\alpha }(x_{\beta },y_{\beta })=y_{\alpha }(y_{\beta })}$

与${\displaystyle x_{\beta }}$无关。[9]

叶状图册的主要用处是将重叠的斑连接起来，形成叶状结构；上述一般定义显得有点笨拙，一个问题是，${\displaystyle (U_{\alpha },\ \varphi _{\alpha })}$的斑可以与多个${\displaystyle (U_{\beta },\ \varphi _{\beta })}$的斑相遇。甚至可能出现，一个图的斑与另一图的无穷多个斑相遇。不过，如下所示，假设情形更规则，也不失一般性。

若${\displaystyle {\mathcal {U}}\cup {\mathcal {V}}}$是叶状${\displaystyle C^{r}}$图册，则M上两具有相同余维和光滑度的${\displaystyle C^{r}}$类叶状图册${\displaystyle {\mathcal {U}},\ {\mathcal {V}}}$是相干的：${\displaystyle \left({\mathcal {U}}\thickapprox {\mathcal {V}}\right)}$。叶状图册的相干是等价关系。[9]

证明 [9]

自反关系和对称关系是直接的。要证传递关系，令${\displaystyle {\mathcal {U}}\thickapprox {\mathcal {V}}}$ and ${\displaystyle {\mathcal {V}}\thickapprox {\mathcal {W}}}$。令${\displaystyle (U_{\alpha },\ x_{\alpha },\ y_{\alpha })\in {\mathcal {U}},\ (W_{\lambda },\ x_{\lambda },\ y_{\lambda })\in {\mathcal {W}}}$，并假设有点${\displaystyle w\in U_{\alpha }\cap W_{\lambda }}$。择${\displaystyle (V_{\delta },\ x_{\delta },\ y_{\delta })\in {\mathcal {V}}}$，使得${\displaystyle w\in V_{\delta }}$。根据上述说明，w有属于${\displaystyle U_{\alpha }\cap V_{\delta }\cap W_{\lambda }}$的邻域，使得 ${\displaystyle y_{\delta }=y_{\delta }(y_{\lambda })\quad {\text{on}}\quad \varphi _{\lambda }(N),}$ ${\displaystyle y_{\alpha }=y_{\alpha }(y_{\delta })\quad {\text{on}}\quad \varphi _{\delta }(N),}$ 由此 ${\displaystyle y_{\alpha }=y_{\alpha }\left(y_{\delta }(y_{\lambda })\right)\quad {\text{on}}\quad \varphi _{\delta }(N).}$ 由于${\displaystyle w\in U_{\alpha }\cap W_{\lambda }}$是任意的，可以总结${\displaystyle y_{\alpha }(x_{\lambda },\ y_{\lambda })}$局部依赖于${\displaystyle x_{\lambda }}$。于是可以证明${\displaystyle {\mathcal {U}}\thickapprox {\mathcal {W}}}$，因为相干是可传递的。[10]

规则叶状图册中的图。

上面定义的开集上的斑与横截也是开的。不过，我们也可以谈论闭的斑与横截：若${\displaystyle (U,\ \varphi ),\ (W,\ \psi )}$都是叶状图，使得${\displaystyle {\overline {U}}}$（U的闭包）是W的子集，${\displaystyle \varphi =\psi |U}$；则，若${\displaystyle \varphi (U)=B_{\tau }\times B_{\pitchfork },}$可知${\displaystyle \psi |{\overline {U}}}$，写作${\displaystyle {\overline {\varphi }}}$，将${\displaystyle {\overline {U}}}$微分同胚地带到${\displaystyle {\overline {B}}_{\tau }\times {\overline {B}}_{\pitchfork }.}$

符合以下条件的叶状图册称作规则的（regular）：

1. ${\displaystyle \forall \alpha \in A,\ {\overline {U}}_{\alpha }}$是叶状图${\displaystyle (W_{\alpha },\ \psi _{\alpha })}$的紧子集，且${\displaystyle \varphi _{\alpha }=\psi _{\alpha }|U_{\alpha }}$；
2. 覆盖${\displaystyle \{U_{\alpha }|\alpha \in A\}}$是局部有限的；
3. 若${\displaystyle (U_{\alpha },\ \varphi _{\alpha }),\ (U_{\beta },\ \varphi _{\beta })}$都是叶状图册的元素，则每个闭斑${\displaystyle P\subset {\overline {U}}_{\alpha }}$的内部与最多与${\displaystyle {\overline {U}}_{\beta }}$中的1个斑相遇。[11]

根据性质 (1)，坐标${\displaystyle x_{\alpha },\ y_{\alpha }}$延伸到${\displaystyle {\overline {U}}_{\alpha }}$上的坐标${\displaystyle {\overline {x}}_{\alpha },\ {\overline {y}}_{\alpha }}$，可以写成${\displaystyle {\overline {\varphi }}_{\alpha }=\left({\overline {x}}_{\alpha },{\overline {y}}_{\alpha }\right).}$性质 (3)等价于要求：若${\displaystyle U_{\alpha }\cap U_{\beta }\neq \varnothing }$，横坐标变化${\displaystyle {\overline {y}}_{\alpha }={\overline {y}}_{\alpha }\left({\overline {x}}_{\beta },{\overline {y}}_{\beta }\right)}$独立于${\displaystyle {\overline {x}}_{\beta }.}$即

${\displaystyle {\overline {g}}_{\alpha \beta }={\overline {\varphi }}_{\alpha }\circ {\overline {\varphi }}_{\beta }^{-1}:{\overline {\varphi }}_{\beta }\left({\overline {U}}_{\alpha }\cap {\overline {U}}_{\beta }\right)\rightarrow {\overline {\varphi }}_{\alpha }\left({\overline {U}}_{\alpha }\cap {\overline {U}}_{\beta }\right)}$

有公式[11]

${\displaystyle {\overline {g}}_{\alpha \beta }\left({\overline {x}}_{\beta },{\overline {y}}_{\beta }\right)=\left({\overline {x}}_{\alpha }\left({\overline {x}}_{\beta },{\overline {y}}_{\beta }\right),{\overline {y}}_{\alpha }\left({\overline {y}}_{\beta }\right)\right).}$

类似论断也适于开图（无覆盖线）。横坐标映射${\displaystyle y_{\alpha }}$可视作浸没

${\displaystyle y_{\alpha }:U_{\alpha }\rightarrow \mathbb {R} ^{q}}$

公式${\displaystyle y_{\alpha }=y_{\alpha }(y_{\beta })}$可视作微分同胚

${\displaystyle \gamma _{\alpha \beta }:y_{\beta }\left(U_{\alpha }\cap U_{\beta }\right)\rightarrow y_{\alpha }\left(U_{\alpha }\cap U_{\beta }\right).}$

它们满足上循环条件，即，在${\displaystyle y_{\delta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta }\cap U_{\delta })}$上，

${\displaystyle \gamma _{\alpha \delta }=\gamma _{\alpha \beta }\circ \gamma _{\beta \delta }}$

尤其是，[12]

${\displaystyle \gamma _{\alpha \alpha }\equiv y_{\alpha }\left(U_{\alpha }\right),}$

${\displaystyle \gamma _{\alpha \beta }=\gamma _{\beta \alpha }^{-1}.}$

用上述关于相干性和规则性的定义，可证明每个叶状图册都有规则的相干细化。[13]

证明 [13]

固定M上的一个度量核一个叶状图册${\displaystyle {\mathcal {W}}.}$传递到子覆盖，如有必要，可假设${\displaystyle {\mathcal {W}}=\left\{W_{j},\psi _{j}\right\}_{j=1}^{l}}$有限。令ε > 0是${\displaystyle {\mathcal {W}}}$的勒贝格数，即直径< ε的${\displaystyle \forall \subset X\subseteq M}$都完全位于某个${\displaystyle W_{j}}$中。${\displaystyle \forall x\in M}$，择j使得${\displaystyle x\in W_{j}}$、择叶状图${\displaystyle (U_{x},\ \varphi _{x})}$使得 ${\displaystyle x\in U_{x}\subseteq {\overline {U}}_{x}\subset W_{j},}$ ${\displaystyle \varphi _{x}=\psi _{j}|U_{x},}$ ${\displaystyle {\rm {diam}}(U_{x})<\varepsilon /2.}$ 设${\displaystyle U_{x}\subset W_{k}\ (k\neq j)}$，并照常记${\displaystyle \psi _{k}=(x_{k},\ y_{k})\ (y_{k}:\ W_{k}\to \mathbb {R} ^{q})}$是横坐标映射。这是浸没，以${\displaystyle W_{k}}$中的斑为水平集。因此，${\displaystyle y_{k}}$限制到浸没${\displaystyle y_{k}:\ U_{x}\to \mathbb {R} ^{q}.}$ 这在${\displaystyle x_{j}}$中是局部为常的；因此，若有必要可以选择较小的${\displaystyle U_{x}}$，假定${\displaystyle y_{k}|{\overline {U}}_{x}}$以${\displaystyle {\overline {U}}_{x}}$的斑为水平集。即，${\displaystyle W_{k}}$的斑最多与${\displaystyle {\overline {U}}_{x}}$的一个（紧）斑相遇（因此包含）。由于1 < k < l < ∞，可以择${\displaystyle U_{x}}$，使得只要${\displaystyle U_{x}\subset W_{k}}$，${\displaystyle {\overline {U}}_{x}}$的不同斑就位于${\displaystyle W_{k}}$的不同斑中。传递到${\displaystyle \{(U_{x},\ \varphi _{x})|x\in M\}}$的有限子图册${\displaystyle {\mathcal {U}}=\left\{U_{i},\varphi _{i}\right\}_{i=1}^{N}}$。若${\displaystyle U_{i}\cap U_{j}\neq 0,\ {\rm {diam}}(U_{i}\cup U_{j})<\varepsilon }$，于是存在索引k使得${\displaystyle {\overline {U}}_{i}\cup {\overline {U}}_{j}\subseteq W_{k}}$。${\displaystyle {\overline {U}}_{i}}$的不同斑（分别是${\displaystyle {\overline {U}}_{j}}$的不同斑）位于${\displaystyle W_{k}}$的不同斑中。因此${\displaystyle {\overline {U}}_{i}}$的每个斑内部最多与${\displaystyle {\overline {U}}_{j}}$的一个斑相交，反之亦然。根据构造，${\displaystyle {\mathcal {U}}}$是${\displaystyle {\mathcal {W}}}$的相干细化，是规则叶状图册。 若M非紧，局部紧性和第二可数性允许我们选择紧子集序列${\displaystyle \left\{K_{i}\right\}_{i=0}^{\infty }}$，使得${\displaystyle \forall i\geq 0,\ M=\bigcup _{i=1}^{\infty }K_{i},\ K_{i}\subset {\rm {int}}K_{i+1}}$。传递到子图集，假定${\displaystyle {\mathcal {W}}=\left\{W_{j},\psi _{j}\right\}_{j=0}^{\infty }}$可数，且可找到严格递增正整数列${\displaystyle \left\{n_{l}\right\}_{l=0}^{\infty }}$使${\displaystyle {\mathcal {W}}_{l}=\left\{W_{j},\psi _{j}\right\}_{j=0}^{n_{l}}}$是${\displaystyle K_{l}}$的覆盖。令${\displaystyle \delta _{l}}$表示${\displaystyle K_{l}}$到${\displaystyle \partial K_{l+1}}$的距离，并择${\displaystyle \varepsilon _{l}>0}$，小到对于${\displaystyle l\geq 1,\ \varepsilon _{0}<\delta _{0}/2}$，都有${\displaystyle \varepsilon _{l}<{\rm {min}}\{\delta _{l}/2,\ \varepsilon _{l-1}\}}$（${\displaystyle \varepsilon _{l}}$是${\displaystyle {\mathcal {W}}_{l}}$（作为${\displaystyle K_{l}}$的开覆盖）与${\displaystyle {\mathcal {W}}_{l+1}}$（作为${\displaystyle K_{l+1}}$的开覆盖）的勒贝格数）。更确切地说，若${\displaystyle X\subset M}$与${\displaystyle L_{l}}$相遇（或${\displaystyle K_{l+1}}$），且${\displaystyle {\rm {diam}}X<\varepsilon _{l}}$，则X位于${\displaystyle {\mathcal {W}}_{l}}$的某个元素中（或${\displaystyle {\mathcal {W}}_{l+1}}$）。${\displaystyle \forall x\in K_{l}\diagdown {\rm {int}}K_{l-1}}$，与紧情形一样构造${\displaystyle (U_{x},\ \varphi _{x})}$，要求${\displaystyle {\overline {U}}_{x}}$是${\displaystyle W_{j}}$的紧子集，且${\displaystyle \forall j\leq n_{l},\ \varphi _{x}=\psi _{j}|U_{x}}$。同时，要求${\displaystyle {\rm {diam}}{\overline {U}}_{x}<\varepsilon _{l}/2}$。和之前一样，传递到${\displaystyle K_{l}\diagdown {\rm {int}}K_{l-1}}$的有限子覆盖${\displaystyle \left\{U_{i},\varphi _{i}\right\}_{i=n_{l-1}+1}^{n_{l}}}$（此处取${\displaystyle n_{-1}=0}$。）这样就创造了规则叶状图册${\displaystyle {\mathcal {U}}=\left\{U_{i},\varphi _{i}\right\}_{i=1}^{\infty }}$，细化了${\displaystyle {\mathcal {W}}}$并与${\displaystyle {\mathcal {W}}}$相干。

根据实现叶状结构的方式，有几种不同的定义。最常见方式是通过流形分解，得到

通过坐标函数${\displaystyle x:\ U\to \mathbb {R} ^{n}}$分解

定义 n维流形M的p-维${\displaystyle C^{r}}$类叶状结构是将M分解为不交连通子流形${\displaystyle \{L_{\alpha }\}_{\alpha \in A}}$的并，称作叶状结构的叶（leaf），具有如下性质：M的点都有邻域U和局部${\displaystyle C^{r}}$类坐标系${\displaystyle x=(x^{1},\ \ldots ,\ x^{n}):\ U\to \mathbb {R} ^{n}}$，使得对每片叶${\displaystyle L_{\alpha }}$，${\displaystyle U\cap L_{\alpha }}$的组分都由方程组${\displaystyle x^{p+1}={\text{常数}},\ \ldots ,\ x^{n}={\text{常数}}}$描述。则，叶状结构记作${\displaystyle {\mathcal {F}}=\{L_{\alpha }\}_{\alpha \in A}.}$[5]

叶的概念可以让我们直观地思考叶状结构。若用稍微几何化的定义，n维流形M的p维叶状结构${\displaystyle {\mathcal {F}}}$也许可简单视作M的逐对不交、连通浸没的p维子流形（叶状结构的叶）的集合${\displaystyle \{M_{a}\}}$，使得对点${\displaystyle \forall x\in M}$，都有图${\displaystyle (U,\varphi )}$，其中U同胚于${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$，包含的x使得对每片叶${\displaystyle M_{a}}$，与U相遇或为空集或为子空间的可数集，其在${\displaystyle \varphi (M_{a}\cap U)}$中${\displaystyle \varphi }$的像下是前n-p个坐标为常数的p维仿射子空间。

叶状结构局部上都是浸没，允许下列定义

定义 令M、Q是n维流形，q≤n，并令${\displaystyle f:\ M\to Q}$是浸没，即假设函数微分矩阵（雅可比矩阵）的秩为q，则据隐函数定理，ƒ在M上诱导了余维为q的叶状结构，其中的叶定义为${\displaystyle x\in Q,\ f^{-1}(x).}$[5]

这定义描述了n维流形M的p维叶状结构${\displaystyle {\mathcal {F}}}$，是由图（chart）${\displaystyle U_{i}}$与下列映射覆盖的：

${\displaystyle \varphi _{i}:U_{i}\to \mathbb {R} ^{n}}$

这样，对重叠对${\displaystyle U_{i},\ U_{j}}$，转移函数${\displaystyle \varphi _{ij}:\ \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$定义为

${\displaystyle \varphi _{ij}=\varphi _{j}\varphi _{i}^{-1}}$

形式为

${\displaystyle \varphi _{ij}(x,y)=(\varphi _{ij}^{1}(x),\varphi _{ij}^{2}(x,y))}$

其中x表示前${\displaystyle q=n-p}$个坐标，y表示后p个坐标（co-ordinates），即

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi _{ij}^{1}:{}&\mathbb {R} ^{q}\to \mathbb {R} ^{q}\\\varphi _{ij}^{2}:{}&\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{p}\end{aligned}}}$

将转移函数${\displaystyle \varphi _{ij}}$拆分为${\displaystyle \varphi _{ij}^{1}(x),\ \varphi _{ij}^{2}(x,y)}$，作为浸没的一部分完全类似于将${\displaystyle {\overline {g}}_{\alpha \beta }}$拆分为${\displaystyle {\overline {y}}_{\alpha }\left({\overline {y}}_{\beta }\right),\ {\overline {x}}_{\alpha }\left({\overline {x}}_{\beta },{\overline {y}}_{\beta }\right)}$，作为规则叶状图册定义的一部分。这使得可以用规则叶状图册定义叶状结构成为可能。为此，必须首先证明，余维度为q的规则叶状图册都与唯一的余维度为q的叶状结构${\displaystyle {\mathcal {F}}}$相关联。[13]

证明[13]

令${\displaystyle {\mathcal {U}}=\left\{U_{a},\varphi _{\alpha }\right\}_{\alpha \in A}}$是余维为q的规则叶状图册。在M上定义等价关系：x ~ y，当且仅当${\displaystyle \exists {\mathcal {U}}}$-斑${\displaystyle P_{0}}$使得${\displaystyle x,\ y\in P_{0}}$，或有${\displaystyle {\mathcal {U}}}$-斑的序列${\displaystyle L=\{P_{0},\ P_{1},\ \dots ,\ P_{p}\}}$使得${\displaystyle x\in P_{0},\ y\in P_{p},\ P_{i}\cap P_{i-1}\neq \varnothing \ (1\leq i\leq p)}$成立。称序列L为连接x、y的长p的斑链。${\displaystyle x,\ y\in P_{0}}$时，可以说${\displaystyle \{P_{0}\}}$是连接x、y的长度为0的斑链。~是等价关系，这很清楚；同样明显的是，等价类L都是斑的并。由于${\displaystyle {\mathcal {U}}}$-斑只能在彼此的开子集中相互重叠，所以L在局部是维度为n-q的拓扑浸入（immerse）子流形。斑${\displaystyle P\subset L}$的开子集在L上构成了n-q维的局部欧氏拓扑的基，L在这拓扑中显然是连通的。要检验L是否为豪斯多夫空间也是平凡的，主要问题是要证明L第二可数。由于斑都是第二可数的，所以对L只需证L中${\displaystyle {\mathcal {U}}}$-斑集最多为可数无穷。固定一个这样的斑${\displaystyle P_{0}}$，根据规则叶状图册的定义，其只与有限多个其他斑相遇。即，只有有限多长1的斑链${\displaystyle \{P_{0},\ P_{i}\}}$。归纳始于${\displaystyle P_{0}}$的p长斑链，同样可证明长度≤ p的斑链只有有限多条。根据~的定义，L中所有${\displaystyle {\mathcal {U}}}$-斑都可通过始于${\displaystyle P_{0}}$的有限斑链抵达，因此可得上述论断。

正如证明所示，叶状结构的叶是长度 ≤ p的斑链的等价类，也是拓扑浸入豪斯多夫p维子流形。接着，我们将证明叶上斑的等价关系可用相干叶状图册的等价来表示，即它们与叶状结构的联系。更具体地说，若${\displaystyle {\mathcal {U}},\ {\mathcal {V}}}$是M上的叶状图册、且若${\displaystyle {\mathcal {U}}}$与叶状结构${\displaystyle {\mathcal {F}}}$相关联，则当且仅当${\displaystyle {\mathcal {V}}}$也与${\displaystyle {\mathcal {F}}}$相关联时，${\displaystyle {\mathcal {U}},\ {\mathcal {V}}}$相干。[10]

证明[10]

若${\displaystyle {\mathcal {V}}}$也与${\displaystyle {\mathcal {F}}}$相关联，则每片叶L都是${\displaystyle {\mathcal {V}}}$-斑与${\displaystyle {\mathcal {U}}}$-斑的并。这些斑在L的流形拓扑中是开子集，因此交于彼此的开子集。由于斑是连通的，所以不在同一片叶的${\displaystyle {\mathcal {U}}}$-斑不能交${\displaystyle {\mathcal {V}}}$-斑；因此叶状图册是相干的。反之，若只知道${\displaystyle {\mathcal {U}}}$与${\displaystyle {\mathcal {F}}}$相关联、${\displaystyle {\mathcal {V}}\approx {\mathcal {U}}}$，令Q是${\displaystyle {\mathcal {V}}}$-斑。若L是${\displaystyle {\mathcal {F}}}$的叶，且${\displaystyle w\in L\cap Q\ (w\in P)}$，令${\displaystyle P\in L}$是${\displaystyle {\mathcal {U}}}$-斑，则${\displaystyle P\cap Q}$是w在Q中的开邻域，且${\displaystyle P\cap Q\subset L\cap Q}$。由于${\displaystyle w\in L\cap Q}$是任意的，可知${\displaystyle L\cap Q}$是开的；由于L也是任意的叶，所以Q可分解为不交的开子集，每个都是Q与${\displaystyle {\mathcal {F}}}$中某叶的交。又由于Q连通，${\displaystyle L\cap Q=Q.}$最后，Q也是任意的${\displaystyle {\mathcal {V}}}$-斑，所以${\displaystyle {\mathcal {V}}}$与${\displaystyle {\mathcal {F}}}$相关联。

现在很明显，M上的叶状结构与叶状图册间的关联关系产生了M的叶状结构集同叶状图册的相干类集之间的一一对应，换句话说，M上余维为q的${\displaystyle C^{r}}$类叶状结构${\displaystyle {\mathcal {F}}}$是余维为q的${\displaystyle C^{r}}$类叶状图册的相干类。[14]据佐恩引理，叶状图册相干类显然包含唯一的最大叶状图册。于是，

定义 M上余维为q的${\displaystyle C^{r}}$类叶状结构是M上余维为q的最大叶状${\displaystyle C^{r}}$-图册。[14]

实践中，通常用较小的叶状图册表示叶状结构，通常还要求是规则的。

在图${\displaystyle U_{i}}$中，条纹${\displaystyle x={\text{常数}}}$与别的图${\displaystyle U_{j}}$上的条相匹配。这些子流形在图之间拼接成最大连通单射浸入子流形，就是叶状结构的叶（leaf）。 若缩小图${\displaystyle U_{i}}$，可以写成${\displaystyle U_{ix}\times U_{iy}}$，其中${\displaystyle U_{ix}\subset \mathbb {R} ^{n-p},\ U_{iy}\subset \mathbb {R} ^{p}.\ \ U_{}iy}$与斑同构，${\displaystyle U_{ix}}$的点参数化了${\displaystyle U_{i}}$中的斑。若择${\displaystyle y_{0}\in U_{iy}}$，则${\displaystyle U_{ix}\times \{y_{0}\}}$是${\displaystyle U_{i}}$的子流形，与每个斑恰交一次，这叫做叶状结构的局部横截面。注意，由于单值性的原因，全局横截面可能不存在。

r = 0的情形比较特殊。实践中出现的${\displaystyle C^{0}}$叶状结构通常是“光滑叶”。更确切地说，是以下意义的${\displaystyle C^{r,\ 0}}$类：

定义 若叶状图册的相应相干类包含规则叶状图册${\displaystyle \{U_{\alpha },\ x_{\alpha },\ y_{\alpha }\}_{\alpha \in A}}$，使得坐标变换式

${\displaystyle g_{\alpha \beta }(x_{\beta },y_{\beta })=(x_{\alpha }(x_{\beta },y_{\beta }),y_{\alpha }(y_{\beta })).}$

属于${\displaystyle C^{k}}$类，但${\displaystyle x_{\alpha }}$在坐标${\displaystyle x_{\beta }}$中是${\displaystyle C^{r}}$类，其阶数≤ r、与${\displaystyle x_{\beta }}$的混合偏导数在坐标${\displaystyle (x_{\beta },\ y_{\beta }}$中是${\displaystyle C^{k}}$类，则称叶状结构${\displaystyle {\mathcal {F}}}$属于${\displaystyle C^{r,\ k}\ (r>k\geq 0)}$类。[14]

上述定义是所谓“叶状空间”的更一般概念。我们可以放宽横截的条件为${\displaystyle \mathbb {R} ^{q}}$的相对紧开子集，允许横坐标${\displaystyle y_{\alpha }}$在更一般的拓扑空间Z中取值。斑仍是${\displaystyle \mathbb {R} ^{q}}$的相对紧开子集，横坐标公式${\displaystyle y_{\alpha }(y_{\beta })}$的变化是连续的，${\displaystyle x_{\alpha }(x_{\beta },\ y_{\beta })}$在坐标${\displaystyle x_{\beta }}$中属于${\displaystyle C^{r}}$类，其阶数 ≤ r 、与${\displaystyle x_{\beta }}$的混合偏导数在坐标${\displaystyle (x_{\beta },\ y_{\beta })}$中连续。一般要求M、Z为局部紧可测第二可数空间。这似乎是很狂野的推广，但在一些情形下很有用。[15]

令${\displaystyle (M,\ {\mathcal {F}})}$是叶状流形（foliated manifold）。设L是${\displaystyle {\mathcal {F}}}$的叶，s是L中的路径，我们感兴趣的是M中s的邻域中叶状结构的行为。直观地说，在叶上可以沿路径s行走，同时关注附近所有叶。在他（以下写作s(t)）行走时，一些叶可能会“掉落”、变得不可见；另一些可能会突然进入可视范围，渐渐接近L；还有些可能会以接近平行的方式跟随L，或垂直地打转之类。若s是环路，则随着t增大，s(t)会反复回到同一个点s(t₀)，每次都会有更多叶螺旋状地进入或离开视野。这种行为经过适当的形式化，叫做叶状结构的完整性（holonomy）。

完整性在叶状流形上有多种具体实现方式：叶状丛（foliated bundle）的总完整群、一般叶状流形的完整伪群、一般叶状流形的亏格完整广群、叶的亏格完整群、叶的无穷小完整群。

叶状丛

最容易理解的完整性是叶状丛的总完整性，这是庞加莱映射概念的推广。

横截面（cross section）N与第一回归映射（first return map）f，其中${\displaystyle M=S^{1}\times D^{2},\ N=D^{2}.}$

“第一回归映射”来自动力系统理论。令${\displaystyle \Phi _{t}}$是紧n-流形上的非奇异${\displaystyle C^{r}\ (r\geq 1)}$流。应用中，可以想象M是个回旋加速器或流体的闭合回路。若M有界，则假定流与界相切。流生成了1维叶状结构${\displaystyle {\mathcal {F}}}$。若知道流的正方向，但不知道其他参数（轨迹形状、速度等），则称底叶状结构（underlying foliation）${\displaystyle {\mathcal {F}}}$有向。假设流有全局横截面N，即N是M的n-1维紧正合嵌入的${\displaystyle C^{r}}$子流形，叶状结构${\displaystyle {\mathcal {F}}}$垂直于N，每条流线都与N相遇。由于N的维度与叶的维度是互补的，横截性条件是

${\displaystyle T_{y}(M)=T_{y}({\mathcal {F}})\oplus T_{y}(N){\text{ for each }}y\in N.}$

令${\displaystyle y\in N}$，考虑M中所有序列${\displaystyle \left\{\Phi _{t_{k}}(y)\right\}_{k=1}^{\infty }}$的所有堆积点的ω-极限集合ω(y)，其中${\displaystyle t_{k}}$为无穷大。可以证明，ω(y)是紧非空的，是流线的并。若${\displaystyle z=\lim _{k\rightarrow \infty }\Phi _{t_{k}}\in \omega (y),}$则有值${\displaystyle t^{*}\in \mathbb {R} }$使得${\displaystyle \Phi _{t^{*}}(z)\in N}$，由此可得

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\Phi _{t_{k}+t^{\ast }}(y)=\Phi _{t^{\ast }}(z)\in N.}$

由于N是紧的，${\displaystyle {\mathcal {F}}}$横截于N，因此集合${\displaystyle \{t>0|\Phi _{t}(y)\in N\}}$是单调递增序列${\displaystyle \{\tau _{k}(y)\}_{k=1}^{\infty }}$，并发散。

当${\displaystyle y\in N}$变化，令${\displaystyle \tau (y)=\tau _{1}(y)}$，这样定义一个正函数${\displaystyle \tau \in C^{r}(N)}$（第一回归时间），使得${\displaystyle \forall y\in N,\ \Phi _{t}(y)\notin N,\ 0<t<\tau (y),\ \Phi _{\tau (y)}(y)\in N.}$

定义${\displaystyle f:\ N\to N,\ f(y)=\Phi _{\tau (y)}(y).}$这是${\displaystyle C^{r}}$映射。若流反向，则完全相同的构造会得到逆的${\displaystyle f^{-1}}$；所以${\displaystyle f\in {\rm {Diff}}^{r}(N)}$。这个微分同胚是第一回归映射，τ称作第一回归时间。虽然第一回归时间取决于流的参数化，但f显然只取决于有向叶状结构${\displaystyle {\mathcal {F}}}$。可以将流${\displaystyle \Phi _{t}}$重参数化，使其保持非奇异、是${\displaystyle C^{r}}$类，且方向不翻转，从而使${\displaystyle \tau \equiv 1.}$

流有横截面N的假设是很受限的，意味着M是${\displaystyle S^{1}}$上纤维丛的总空间。事实上在${\displaystyle \mathbb {R} \times N}$上，可将${\displaystyle \sim _{f}}$定义为以下条件生成的等价关系：

${\displaystyle (t,y)\sim _{f}(t-1,f(y)).}$

等价地，这是加法群Z在${\displaystyle \mathbb {R} \times N}$上的作用的轨等价，定义如下

${\displaystyle \forall k\in \mathbb {Z} ,\ \forall (t,\ y)\in \mathbb {R} \times N,\ k\cdot (t,y)=(t-k,f^{k}(y)).}$

f的映射圆柱定义为${\displaystyle C^{r}}$流形

${\displaystyle M_{f}=(\mathbb {R} \times N)/{\sim _{f}}.}$

由第一回归映射f的定义与第一回归时间${\displaystyle \tau \equiv 1}$的假设，可立即得出映射

${\displaystyle \Phi$ :\mathbb {R} \times N\rightarrow M.}

流的定义可诱导一个规范${\displaystyle C^{r}}$微分同胚

${\displaystyle \varphi :M_{f}\rightarrow M.}$

若记${\displaystyle M_{f}=M}$，则${\displaystyle \mathbb {R} \times N}$到R的投影诱导了${\displaystyle C^{r}}$映射

${\displaystyle \pi :M\rightarrow \mathbb {R} /\mathbb {Z} =S^{1}}$

使M变为圆上纤维丛的总空间。这只是${\displaystyle S^{1}\times D^{2}}$到${\displaystyle S^{1}}$的投影。叶状结构${\displaystyle {\mathcal {F}}}$横截于这丛的纤维，限制到每片叶L的丛投影π是覆盖映射${\displaystyle \pi$ :\ L\to S^{1}} ，这就是叶状丛（foliated bundle）。

以${\displaystyle x_{0}\in S^{1}}$的等价类${\displaystyle 0+\mathbb {Z} }$为基点，${\displaystyle \pi ^{-1}(x_{0})}$就是原横截面N。对${\displaystyle S^{1}}$上以${\displaystyle x_{0}}$为基点的每个环路s，同伦类${\displaystyle [s]\in \pi _{1}(S^{1},\ x_{0})}$的唯一特征是${\displaystyle {\rm {deg}}s\in \mathbb {Z} }$。环路s提升到每条流线中的一条路径，很明显提升${\displaystyle s_{y}}$始于${\displaystyle y\in N}$、终于${\displaystyle f^{k}(y)\in N\ (k={\rm {deg}}s)}$。微分同胚${\displaystyle f^{k}\in {\rm {Diff}}^{r}(N)}$也用${\displaystyle h_{s}}$表示，称作环路s的总整体性。由于只取决于[s]，因此定义了同胚

${\displaystyle h:\pi _{1}(S^{1},x_{0})\rightarrow \operatorname {Diff} ^{\,r}(N),}$

称作叶状丛的总整体同胚。

更直观地运用纤维丛，令${\displaystyle (M,\ {\mathcal {F}})}$是余维为q的叶状n-流形，令${\displaystyle \pi$ :\ M\to B} 是纤维丛，具有q维纤维F与连通基空间B。假设所有这些结构都属于${\displaystyle C^{r}\ (0\leq r\leq \infty )}$类，若r = 0，B支持一个${\displaystyle C^{1}}$结构。由于B上的最大${\displaystyle C^{1}}$图册都包含${\displaystyle C^{\infty }}$子图册，因此假设B如所期望那般光滑并不失一般性。最后，${\displaystyle \forall x\in B}$，假设x有连通开邻域${\displaystyle U\subseteq B}$，和局部平凡化

${\displaystyle {\begin{matrix}\pi ^{-1}(U)&{\xrightarrow {\varphi }}&U\times {F}\\\scriptstyle {\pi }{\Bigg \downarrow }&{\qquad }&{\Bigg \downarrow }{\scriptstyle {p}}\\U&{\xrightarrow {\text{id}}}&U\end{matrix}}}$

其中φ是${\displaystyle C^{r}}$微分同胚（若r = 0则是同胚），将${\textstyle {\mathcal {F}}\mid \pi ^{-1}(U)}$带到积叶状结构${\displaystyle \{U\times \{y\}\}_{y\in F}}$。其中，${\textstyle {\mathcal {F}}\mid \pi ^{-1}(U)}$是叶为${\displaystyle L\cap \pi ^{-1}(U)}$的连通组分的叶状结构，L是${\displaystyle {\mathcal {F}}}$的叶。这是${\displaystyle C^{r}}$类“叶状丛”（foliated bundle）${\displaystyle (M,\ {\mathcal {F}},\ \pi )}$的一般定义。

${\displaystyle {\mathcal {F}}}$垂直于π的纤维（可以说${\displaystyle {\mathcal {F}}}$是垂直于纤维的），π到${\displaystyle {\mathcal {F}}}$的每片叶L的限制是覆盖映射${\displaystyle \pi$ :\ L\to B} 。特别是，每条纤维${\displaystyle F_{x}=\pi ^{-1}(x)}$都与${\displaystyle {\mathcal {F}}}$的每片叶相遇。纤维是${\displaystyle {\mathcal {F}}}$的横截，与流的横截完全类似。

叶状结构${\displaystyle {\mathcal {F}}}$横截于纤维不能保证叶是B的覆盖空间。这个问题的一个简单版本是${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$的一个叶状结构横截于纤维

${\displaystyle \pi$ :\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ,}

${\displaystyle \pi (x,y)=x,}$

但有无限多叶缺失了y轴。在相应的图像中，“有箭头的”叶以及它们上面所有的叶都渐进于x = 0轴。一般称这种叶状结构为相对于纤维是不完备的，即当参数${\displaystyle x\in B}$接近某个${\displaystyle x_{0}\in B}$，一些叶“奔向无穷大”。更确切地说，可能有叶L，和一条连续路径${\displaystyle s:\ [0,\ a)\to L}$使得${\displaystyle \lim _{t\to a-}\pi (s(t))=x_{0}\in B}$，但${\displaystyle \lim _{t\to a-}s(t)}$在L的流形拓扑中不存在。这类似于不完备流，某些流线会在有限时间内发散。虽然这样的叶L可能在别处与${\displaystyle \pi ^{-1}(x_{0})}$相遇，但不能均匀覆盖${\displaystyle x_{0}}$的邻域，因此不可能是B在π下的的覆盖空间。F是紧的时，${\displaystyle {\mathcal {F}}}$对纤维的横截性确实保证了完备性，于是${\textstyle (M,{\mathcal {F}},\pi )}$是叶状丛。

B上有图册${\displaystyle {\mathcal {U}}=\{U_{\alpha },\ x_{\alpha }\}_{\alpha \in A}}$，包含开连通坐标图，以及平凡化${\displaystyle \varphi _{\alpha }:\ \pi ^{-1}(U_{\alpha })\to U_{\alpha }\times F}$，将${\displaystyle {\mathcal {F}}|\pi ^{-1}(U_{\alpha })}$带到积叶状结构。置${\displaystyle W_{\alpha }=\pi ^{-1}(U_{\alpha })}$，并记${\displaystyle \varphi _{\alpha }=(x_{\alpha },\ y_{\alpha })}$，其中（滥用符号）${\displaystyle x_{\alpha }}$表示${\displaystyle x_{\alpha }\circ \pi ,\ y_{\alpha }:\ \pi ^{-1}(U_{\alpha })\to F}$是将${\displaystyle \varphi _{\alpha }}$与规范投影${\displaystyle U_{\alpha }\times F\to F}$组合而得的浸没。

图册${\displaystyle {\mathcal {W}}=\{W_{\alpha },\ x_{\alpha },\ y_{\alpha }\}_{\alpha \in A}}$的作用类似叶状图册。${\displaystyle W_{\alpha }}$的斑是${\displaystyle y_{\alpha }}$的水平集，这一族斑通过${\displaystyle y_{\alpha }}$，与F相同。由于预设了B支持某个${\displaystyle C^{\infty }}$结构，据怀特黑德定理，可在B上固定一个黎曼度量，择图册${\displaystyle {\mathcal {U}}}$为测地凸的。于是，${\displaystyle U_{\alpha }\cap U_{\beta }}$总是连通的。若这个交非空，则${\displaystyle W_{\alpha }}$的每个斑都正好与${\displaystyle W_{\beta }}$的一个斑相遇。然后，通过设下式，可定义一个完整上循环（holonomy cocycle）${\displaystyle \gamma =\left\{\gamma _{\alpha \beta }\right\}_{\alpha ,\beta \in A}}$ by setting

${\displaystyle \gamma _{\alpha \beta }=y_{\alpha }\circ y_{\beta }^{-1}:F\rightarrow F.}$