量詞消去

以下是若干可消去量詞的理論：

• Presburger 算術
• 實封閉域
• 代數封閉域
• 無原子的布爾代數
• 項代數
• 稠密全序
• 特徵樹

以及它們之間的許多組合，如帶 Presburger 算術的布爾代數等等。量詞消去也可用以證明「合併」某些可判定理論可得到新的可判定理論，類似的建構包括有 Feferman-Vaught 定理及項冪。

如欲建構地證明一個理論可消去量詞，僅須處理一個存在量詞配上若干個文字合取的情形；換言之，即證明每個形如${\displaystyle \exists x.\bigwedge _{i=1}^{n}L_{i}}$ （其中每個${\displaystyle L_{i}}$都是文字） 的公式都在該理論中等價於一個無量詞的公式——誠然，假設已知如何對一串公式的合取消去量詞，則若${\displaystyle F}$是個公式，可將其寫作析取範式：

${\displaystyle \vdash F\leftrightarrow \bigvee _{j=1}^{m}\bigwedge _{i=1}^{n}L_{ij}}$

並運用 ${\displaystyle \exists x.\bigvee _{j=1}^{m}\bigwedge _{i=1}^{n}L_{ij}}$等價於${\displaystyle \bigvee _{j=1}^{m}\exists x.\bigwedge _{i=1}^{n}L_{ij}}$此一性質。最後，為了消去全稱量詞 ${\displaystyle \forall x.F}$，其中${\displaystyle F}$不帶量詞，我們將${\displaystyle \lnot F}$寫作析取範式，並運用${\displaystyle \forall x.F}$等價於${\displaystyle \lnot \exists x.\lnot F}$一性質，遂證得原斷言。

• Wilfrid Hodges. "Model Theory". Cambridge University Press. 1993.
• Viktor Kuncak and Martin Rinard. "Structural Subtyping of Non-Recursive Types is Decidable". In Eighteenth Annual IEEE Symposium on Logic in Computer Science, 2003.