實閉域

對任何形式實域${\displaystyle F}$，都存在代數擴張${\displaystyle R\subset F}$，使得${\displaystyle R}$是實封閉的。我們稱${\displaystyle R}$是${\displaystyle F}$的一個實閉包。實閉包並不唯一。

若在${\displaystyle F}$上固定一個序結構，並要求${\displaystyle R}$的序結構與之相容；則此時實閉包${\displaystyle R}$存在並唯一，且${\displaystyle \mathrm {Aut} (R/F)=\{\mathrm {id} _{R}\}}$。

• 實數域${\displaystyle \mathbb {R} }$
• ${\displaystyle \mathbb {R} \cap \mathbb {Q} ^{\mathrm {alg} }}$；它是${\displaystyle \mathbb {Q} }$的實閉包。
• 可計算數
• Puiseux級數

實封閉域的研究首先由數學家展開，隨後引起了邏輯學家的興趣。採用形式語言${\displaystyle {\mathcal {L}}:=\langle +,-,\cdot ,>\rangle }$，設${\displaystyle \mathrm {RCF} }$為實封閉域（帶序結構）的${\displaystyle {\mathcal {L}}}$-一階理論，塔斯基證明了${\displaystyle \mathrm {RCF} }$上有量詞消去；因此任兩個${\displaystyle \mathrm {RCF} }$的模型都是初等等價的。一方面，我們可運用${\displaystyle \mathbb {R} }$上的特有工具（微積分、拓撲等等）證明一般實封閉域上的一階句子；另一方面，則可透過適當的域擴張解決${\displaystyle \mathbb {R} }$上的問題，後一方向上最著名的成就是 Abraham Robinson 對希爾伯特第十七問題的證明。

如果改採形式語言${\displaystyle {\mathcal {L}}^{-}:=\langle +,-,\cdot \rangle }$，並取實封閉域的代數定義${\displaystyle \mathrm {RCF} ^{-}}$，此時則無法消去量詞（在${\displaystyle \mathrm {RCF} ^{-}}$中考慮公式${\displaystyle \exists y\;y=x^{2}}$）。

設${\displaystyle R}$是實封閉域，換言之${\displaystyle R\models _{\mathcal {L}}\mathrm {RCF} }$，根據${\displaystyle \mathrm {RCF} }$上的量詞消去，${\displaystyle R}$上的可定義集只是有限多個線段與孤立點的聯集。此性質稱作O-極小性，它較量詞消去為弱，卻是研究${\displaystyle R^{n}}$上可定義集的幾何構造之關鍵。

量詞消去也蘊含${\displaystyle \mathrm {RCF} }$的可判定性，然而塔斯基給出的演算法其複雜度過高，並不實用。

若承認廣義連續統假設，則可進一步以超積描述實封閉域的性狀。

• Chang, Chen Chung and Keisler, H. Jerome: Model Theory, North-Holland, 1989.
• H. Garth Dales and W. Hugh Woodin: Super-Real Fields, Clarendon Press, 1996.
• Computational Real Algebraic Geometry, Bhubaneswar Mishra, Handbook of Discrete and Computational Geometry, CRC Press, 1997 (Postscript 版本 （页面存档备份，存于）); 亦見 2004 edition, p. 743, ISBN 1-58488-301-4
• Saugata Basu, Richard Pollack and Marie-Françoise Roy, Algorithms in real algebraic geometry, Springer, Algorithms and computation in mathematics, 2003, ISBN 3540330984 (在線版本)
• Bob F. Caviness, Jeremy R. Johnson, editors, Quantifier elimination and cylindrical algebraic decomposition, Springer, 1998, ISBN 3211827943