铅垂线

设铅垂线的线元矢量为 ${\displaystyle \operatorname {d} \!\mathbf {x} =(\operatorname {d} \!x,\operatorname {d} \!y,\operatorname {d} \!z)}$，重力矢量为 ${\displaystyle \mathbf {g} =(W_{x},W_{y},W_{z})}$，两者间仅相差一个比例因子：[4]^:53

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} \!x}{W_{x}}}={\frac {\operatorname {d} \!y}{W_{y}}}={\frac {\operatorname {d} \!z}{W_{z}}}}$

根据微分几何中曲率的计算公式，铅垂线投影在 ${\displaystyle xz}$ 平面上的曲率 ${\displaystyle \kappa _{1}}$ 为

${\displaystyle \kappa _{1}={\operatorname {d} ^{2}\!x \over \operatorname {d} \!z^{2}}}$

上式的二阶微分可由重力位 ${\displaystyle W}$ 的偏微分得到：

${\displaystyle {\operatorname {d} \!x \over \operatorname {d} \!z}={W_{x} \over W_{z}}\longrightarrow {\operatorname {d} ^{2}\!x \over \operatorname {d} \!z^{2}}={1 \over W_{z}^{2}}\left[W_{z}(W_{xz}+W_{xx}{\operatorname {d} \!x \over \operatorname {d} \!z})-W_{x}(W_{zz}+W_{zx}{\operatorname {d} \!x \over \operatorname {d} \!z})\right]}$

取沿向上的铅垂方向为 ${\displaystyle z}$ 轴正向，建立局部坐标框架。此时重力位 ${\displaystyle W}$ 在 ${\displaystyle xy}$ 平面的微分为零，即

${\displaystyle W_{x}=W_{y}=0\longrightarrow {\operatorname {d} \!x \over \operatorname {d} \!z}=0}$

将上式代入曲率 ${\displaystyle \kappa _{1}}$ 的计算公式，得：

${\displaystyle \kappa _{1}={W_{zx} \over W_{z}}}$

其中，重力位沿 ${\displaystyle z}$ 轴方向的微分 ${\displaystyle W_{z}=-g}$. 其中 ${\displaystyle g}$ 为重力矢量的大小，即 ${\displaystyle g=\lVert \mathbf {g} \rVert }$. 则重力位的微分可替换为重力矢量大小的微分：[4]^:54

${\displaystyle \kappa _{1}={g_{x} \over g}}$

同理可证，铅垂线投影在 ${\displaystyle yz}$ 平面上的曲率 ${\displaystyle \kappa _{2}}$ 为

${\displaystyle \kappa _{2}={g_{y} \over g}}$

由于铅垂线与 ${\displaystyle z}$ 轴在上述定义的局部坐标框架中相切，即铅垂线投影在 ${\displaystyle xy}$ 平面上的曲率为零，再由总曲率的计算公式可以得到：[4]^:54

${\displaystyle \kappa ={\sqrt {\kappa _{1}^{2}+\kappa _{2}^{2}}}={1 \over g}{\sqrt {g_{x}^{2}+g_{y}^{2}}}}$