重力位

牛頓萬有引力定律指出：

${\displaystyle \mathbf {F} =-{\frac {GMm}{r^{2}}}\mathbf {\hat {r}} }$

其中

• ${\displaystyle \mathbf {F} }$：質量${\displaystyle m}$的質點受到的萬有引力
• ${\displaystyle G}$：萬有引力常數
• ${\displaystyle m}$：質點1的質量
• ${\displaystyle M}$：質點2的質量
• ${\displaystyle r}$：兩個物體之間的距離
• ${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} }$：由${\displaystyle M}$指向${\displaystyle m}$的單位向量

式中的負號使得${\displaystyle m}$往${\displaystyle M}$方向吸引，因此萬有引力是吸引力。

而重力場${\displaystyle g}$則描述了空間中任意位置上，每單位質量的質點所受到的萬有引力：

${\displaystyle \mathbf {g} ={\frac {\mathbf {F} }{m}}=-G{\frac {M}{r^{2}}}\mathbf {\hat {r}} }$

當我們去考慮在重力場中每單位質量的物體由外力移動一段距離${\displaystyle \mathbf {dl} }$所需做的功${\displaystyle \mathbf {d} W}$，由於功等於力與位移的內積，所以${\displaystyle d\mathbf {d} W=-\mathbf {g} \cdot \mathbf {dl} }$，式中的負號表示外力所做的功與重力場所做的功相反。如果將物體從點${\displaystyle \mathbf {a} }$移動到點${\displaystyle \mathbf {b} }$，則${\displaystyle W}$等於沿著該路徑的線積分

${\displaystyle W=\int _{\mathbf {a} }^{\mathbf {b} }-\mathbf {g} \cdot \mathbf {dl} }$

在球座標系中${\displaystyle \mathbf {dl} =\mathbf {d} r\mathbf {\hat {r}} +r\mathbf {d} \theta {\boldsymbol {\hat {\theta }}}+r\sin {\theta }\mathbf {d} \phi {\boldsymbol {\hat {\phi }}}}$，所以

${\displaystyle \mathbf {g} \cdot \mathbf {dl} =-{\frac {GM}{r^{2}}}\mathbf {d} r}$

因此

${\displaystyle {\begin{aligned}W&=\int _{\mathbf {a} }^{\mathbf {b} }-\mathbf {g} \cdot \mathbf {dl} \\&=\int _{\mathbf {a} }^{\mathbf {b} }{\frac {GM}{r^{2}}}\mathbf {d} r\\&=GM({\frac {1}{r_{a}}}-{\frac {1}{r_{b}}})\end{aligned}}}$

其中，${\displaystyle r_{a}}$是從原點到點${\displaystyle \mathbf {a} }$的距離，${\displaystyle r_{b}}$是從原點到點${\displaystyle \mathbf {b} }$的距離。對於任何兩條具有相同起點和終點的路徑，上式的積分一定具有相同的值。既然線積分與路徑無關，我們可以就定義一個函數${\displaystyle V(\mathbf {r} )}$：

${\displaystyle V(\mathbf {r} )=-\int _{\mathcal {O}}^{\mathbf {r} }\mathbf {g} \cdot \mathbf {dl} }$

${\displaystyle V(\mathbf {r} )}$就稱為重力位。只要預先設定一個標準參考點${\displaystyle {\mathcal {O}}}$，${\displaystyle V}$的值就可以由${\displaystyle \mathbf {r} }$來決定。

習慣上，我們將無限遠處的重力位設為零。因此，在點${\displaystyle \mathbf {r} }$的重力位${\displaystyle V}$等於

${\displaystyle V(\mathbf {r} )=GM({\frac {1}{\infty }}-{\frac {1}{r}})=-{\frac {GM}{r}}}$

此外，${\displaystyle W}$可以用${\displaystyle V}$重新寫成：

${\displaystyle {\begin{aligned}W&=\int _{\mathbf {a} }^{\mathbf {b} }-\mathbf {g} \cdot \mathbf {dl} \\&=-\int _{\mathbf {\mathcal {O}} }^{\mathbf {b} }\mathbf {g} \cdot \mathbf {dl} -\int _{\mathbf {a} }^{\mathbf {\mathcal {O}} }\mathbf {g} \cdot \mathbf {dl} \\&=-\int _{\mathbf {\mathcal {O}} }^{\mathbf {b} }\mathbf {g} \cdot \mathbf {dl} +\int _{\mathbf {\mathcal {O}} }^{\mathbf {a} }\mathbf {g} \cdot \mathbf {dl} \\&=V(\mathbf {b} )-V(\mathbf {a} )\end{aligned}}}$

因此，在重力場中移動每單位質量的物體所需的功，等於兩點之間重力位的差。如果想將物體移動到了離質點${\displaystyle M}$更遠的地方，則一定要做正功。上式也可以看做是將單位質量的物體從無限遠處移到該點所需的功。

由上述的計算得知，${\displaystyle \mathbf {a} }$、${\displaystyle \mathbf {b} }$兩點之間重力位的差等於

${\displaystyle V(\mathbf {b} )-V(\mathbf {a} )=-\int _{\mathbf {a} }^{\mathbf {b} }\mathbf {g} \cdot \mathbf {dl} }$

然而根據梯度定理（線積分基本定理），重力位的梯度${\displaystyle \mathbf {\nabla } V}$沿曲線的積分，可用重力位在該曲線兩端的值之差來計算：

${\displaystyle V(\mathbf {b} )-V(\mathbf {a} )=\int _{\mathbf {a} }^{\mathbf {b} }(\mathbf {\nabla } V)\cdot \mathbf {dl} }$

所以

${\displaystyle \int _{\mathbf {a} }^{\mathbf {b} }(\mathbf {\nabla } V)\cdot \mathbf {dl} =-\int _{\mathbf {a} }^{\mathbf {b} }\mathbf {g} \cdot \mathbf {dl} }$

由於對於任何點${\displaystyle \mathbf {a} }$、${\displaystyle \mathbf {b} }$都是如此，因此被積數必須相等：

${\displaystyle \mathbf {g} =-\mathbf {\nabla } V}$

這是重力位的一個重要性質。

在公制單位中，力的單位是牛頓，質量的單位是公斤，所以重力場的單位是牛頓/公斤而重力位的單位是牛頓公尺/公斤，或焦耳/公斤。

经典力学中，一個質量分布產生的重力位，等於各個點質量的重力位的疊加。如果一個質量分布由有限個點質量組成，點質量的位置為${\displaystyle \mathbf {r} _{1},...,\mathbf {r} _{n}}$，質量為${\displaystyle m_{1},...,m_{n}}$，那麼其在點${\displaystyle \mathbf {r} }$產生的重力位${\displaystyle V(\mathbf {r} )}$等於

${\displaystyle V(\mathbf {r} )=\sum _{i=1}^{n}-{\frac {Gm_{i}}{|\mathbf {r} -\mathbf {r_{i}} |}}.}$

如果在三維歐氏空間${\displaystyle \mathbf {R} ^{3}}$上將質量分佈以測度${\displaystyle \mathbf {d} m}$給出，則重力位等於${\displaystyle -G/r}$對${\displaystyle \mathbf {d} m}$的卷積。[6] 在理想的情況下，這等價於積分

${\displaystyle V(\mathbf {r} )=-\int _{\mathbf {R} ^{3}}{\frac {G}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} \prime |}}\,\mathbf {d} m(\mathbf {r} \prime ),}$

式中${\displaystyle |\mathbf {r} -\mathbf {r} \prime |}$代表點${\displaystyle \mathbf {r} }$與點${\displaystyle \mathbf {r} \prime }$的距離。如果該質量分布在點${\displaystyle \mathbf {r} }$的密度為${\displaystyle \rho (\mathbf {r} )}$，那麼${\displaystyle \mathbf {d} m}$便等於密度${\displaystyle \rho (\mathbf {r} )}$與單位體積 ${\displaystyle \mathbf {d} \tau }$的乘積：${\displaystyle \mathbf {d} m=\rho (\mathbf {r} )\mathbf {d} \tau }$，而重力位就等於體積分

${\displaystyle V(\mathbf {r} )=-\int _{\mathbf {R} ^{3}}{\frac {G}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} \prime |}}\,\rho (\mathbf {r} \prime )\mathbf {d} \tau (\mathbf {r} \prime ).}$