锥台

棱台的体积取决于两底面之间的距离（棱台的高），以及原来棱锥的体积。设${\displaystyle h}$為棱台的高，${\displaystyle S_{u}}$和${\displaystyle S_{d}}$為棱台的上下底面積，${\displaystyle V}$ 為棱台的体积。由于棱台是由一个平面截去棱锥的一部分（也就是和原来棱锥相似的一个小棱锥）得到，所以计算体积的时候，可以先算出原来棱锥的体积，再减去和它相似的小棱锥的体积。棱锥被平行于底面的平面所截时，截面的面积与底面面积的比，等于小棱锥和原棱锥的高的比的平方。假设原棱锥的高是${\displaystyle H}$，那么小棱锥的高是${\displaystyle H-h}$。也就是说：

${\displaystyle {\frac {H-h}{H}}={\sqrt {\frac {S_{u}}{S_{d}}}}}$

所以：

${\displaystyle H={\frac {h{\sqrt {S_{d}}}}{{\sqrt {S_{d}}}-{\sqrt {S_{u}}}}}}$

棱台的体积等于原棱锥体积减去小棱锥的体积：

${\displaystyle V={\frac {S_{d}H}{3}}-{\frac {S_{u}(H-h)}{3}}={\frac {(S_{d}{\sqrt {S_{d}}}-S_{u}{\sqrt {S_{u}}})h}{3({\sqrt {S_{d}}}-{\sqrt {S_{u}}})}}={\frac {h}{3}}\left(S_{d}+S_{u}+{\sqrt {S_{d}}}{\sqrt {S_{u}}}\right)}$

对于正棱锥，假设它的底面是正n边形，边长分别为a和b，高是h，那么底面积是：${\displaystyle S_{u}={\frac {na^{2}}{4}}\cot {\frac {\pi }{n}},\quad S_{u}={\frac {nb^{2}}{4}}\cot {\frac {\pi }{n}}.}$ 所以它的体积是：

${\displaystyle V={\frac {n(a^{2}+b^{2}+ab)h}{12}}\cot {\frac {\pi }{n}}.}$

棱台的侧面展开图是由各个梯形侧面组成的，展开图的面积，就是各个侧面的面积之和，也就是原棱锥的侧面积减去小棱锥的侧面积S_c

${\displaystyle S_{c}=\sum _{i=1}^{n}S_{i}}$，其中${\displaystyle S_{i},i=1,2\cdots ,n}$是第 i 个侧面的面积。

棱台的表面积等于棱台的侧面积S_c加上底面积S。假设各个梯形侧面的高是h_i，底边的长度是a_i和b_i，那么棱锥的侧面积：

${\displaystyle S_{c}=\sum _{i=1}^{n}S_{i}={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}(a_{i}+b_{i})h_{i}.}$

棱台或圆台的体积是原立体图形的体积减去被截去部分的体积：

${\displaystyle V={\frac {h_{2}B_{2}-h_{1}B_{1}}{3}}}$

B₁ 指一个底面的面积，B₂指另一个底面的面积, and h₁， h₂ 指原顶点分别到两底面的面积。 考虑到

${\displaystyle {\frac {B_{1}}{h_{1}^{2}}}={\frac {B_{2}}{h_{2}^{2}}}}$

这个体积也可用平截头体的高 h = h₂−h₁ 与两底面面积的希罗平均数表达：

${\displaystyle V={\frac {h}{3}}(B_{1}+B_{2}+{\sqrt {B_{1}B_{2}}})}$

亚历山大里亚的希罗 推导出了这个公式并且凭借它遇到了虚数。[1]

特别地， 圆台的体积是

${\displaystyle V={\frac {\pi h}{3}}(R_{1}^{2}+R_{2}^{2}+R_{1}R_{2})}$

π 等于 3.14159265...，'R₁, R₂ 是两底面的半径。

Pyramidal frustum.

底面为n边形的棱台的体积是

${\displaystyle V={\frac {nh}{12}}(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{1}a_{2})\cot {\frac {180}{n}}}$

a₁ 与 a₂ 是底面的边长。

对于一个正圆台，[2]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Lateral Surface Area}}&=\pi (R_{1}+R_{2})s\\&=\pi (R_{1}+R_{2}){\sqrt {(R_{1}-R_{2})^{2}+h^{2}}}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Total Surface Area}}&=\pi \left[(R_{1}+R_{2})s+R_{1}^{2}+R_{2}^{2}\right]\\&=\pi \left[(R_{1}+R_{2}){\sqrt {(R_{1}-R_{2})^{2}+h^{2}}}+R_{1}^{2}+R_{2}^{2}\right]\end{aligned}}}$

Lateral Surface Area指侧面积，Total Surface Area指总面积，R₁ and R₂ 为底面半径，s 为平截头体的斜高。 一个底面为正n边形的正棱台的表面积是

${\displaystyle A={\frac {n}{4}}\left[(a_{1}^{2}+a_{2}^{2})\cot {\frac {\pi }{n}}+{\sqrt {(a_{1}^{2}-a_{2}^{2})^{2}\sec ^{2}{\frac {\pi }{n}}+4h^{2}(a_{1}+a_{2})^{2}}}\right]}$

a₁ 与 a₂是两底面的边长。