閉圖像定理

設${\displaystyle X}$，${\displaystyle Y}$為巴拿赫空間，${\displaystyle T:X\to Y}$為線性算子。定義${\displaystyle T}$的圖像為${\displaystyle X\times Y}$的子空間

${\displaystyle \Gamma (T)=\{(x,T(x))\in X\times Y\vert x\in X\}}$。

賦予${\displaystyle X\times Y}$範數${\displaystyle \|(x,y)\|_{X\times Y}=\|x\|_{X}+\|y\|_{Y}}$，使得${\displaystyle X\times Y}$成為巴拿赫空間。那麼，這定理指${\displaystyle T}$是連續的（與有界等價）當且僅當${\displaystyle \Gamma (T)}$在${\displaystyle X\times Y}$內是閉集。

閉圖像定理可以從開映射定理推導出來。

${\displaystyle \Gamma (T)}$是閉集的充分必要條件是如果序列${\displaystyle \{(x_{n},y_{n})\}_{n}\subset \Gamma (T)}$（即對任意${\displaystyle n}$有${\displaystyle y_{n}=T(x_{n})}$），而${\displaystyle (x_{n},y_{n})\to (x,y)}$，那麼${\displaystyle (x,y)\in \Gamma (T)}$，${\displaystyle y=T(x)}$。如果${\displaystyle T}$是連續的，從連續性立刻可知${\displaystyle \Gamma (T)}$是閉集，因為連續性是更強的條件：如果${\displaystyle x_{n}\to x}$，則${\displaystyle T(x_{n})\to T(x)}$。

如果${\displaystyle \Gamma (T)}$是閉集，可以在${\displaystyle \Gamma (T)}$定義線性算子

${\displaystyle \pi _{1}:\Gamma (T)\to X,\ (x,y)\mapsto x}$，

${\displaystyle \pi _{2}:\Gamma (T)\to Y,\ (x,y)\mapsto y}$。

顯然${\displaystyle \|\pi _{2}(x,y)\|_{Y}=\|y\|_{Y}\leq \|(x,y)\|_{X\times Y}}$，因此${\displaystyle \pi _{2}}$是有界算子。

${\displaystyle \Gamma (T)}$是巴拿赫空間${\displaystyle X\times Y}$中的閉子空間，所以${\displaystyle \Gamma (T)}$是巴拿赫空間。${\displaystyle X}$也是巴拿赫空間，${\displaystyle \pi _{1}}$是雙射，從而由開映射定理的系可知，其逆${\displaystyle \pi _{1}^{-1}:X\to \Gamma (T)}$為有界算子。

因為${\displaystyle T=\pi _{2}\circ \pi _{1}^{-1}}$，故${\displaystyle T}$也是有界的。

從這定理可得出黑林格-特普利茨定理──希爾伯特空間上處處定義的對稱線性算子是有界的。