遞進階乘與遞降階乘

遞進階乘与遞降階乘有多种书写方式。

由里奧·珀赫哈默尔引进的珀赫哈默尔符號（Pochhammer symbol）是常用的一种，分別為${\displaystyle \ x^{(n)}}$ 与 ${\displaystyle \ (x)_{n}}$ 。

一种较为少见的写法将遞進階乘記作 ${\displaystyle \ (x)_{n}^{+}}$ 。

葛立恒、高德纳与奧倫·帕塔什尼克在《具体数学》一书中，則引进符號 ${\displaystyle x^{\overline {n}}}$ 与 ${\displaystyle x^{\underline {n}}}$ 。

遞進階乘与遞降階乘都能以二项式系数形式表达：

${\displaystyle {\frac {x^{\overline {n}}}{n!}}={x+n-1 \choose n}}$

${\displaystyle {\frac {x^{\underline {n}}}{n!}}={x \choose n}}$

于是二项式系数适用的许多性质都适用于遞進階乘与遞降階乘。

显然，遞進階乘与遞降階乘作为 n 个连续整数的积，它定能被 n 整除，即

${\displaystyle n|x^{\overline {n}}}$ ；

${\displaystyle n|x^{\underline {n}}}$ 。

當 n=4 ，遞進階乘与遞降階乘必定能表达为一个完全平方数减1，即

${\displaystyle x^{\overline {4}}=k^{2}-1}$；

${\displaystyle x^{\underline {4}}=k^{2}-1}$ 。

遞進階乘与遞降階乘遵从一个类似二项式定理的规则:

${\displaystyle (a+b)^{\overline {n}}=\sum _{r=0}^{n}{n \choose r}a^{\overline {n-r}}b^{\overline {r}}}$

${\displaystyle (a+b)^{\underline {n}}=\sum _{r=0}^{n}{n \choose r}a^{\underline {n-r}}b^{\underline {r}}}$

其中系数为二项式系数。

因为遞降階乘是多项式环的基础，我们可以将遞降階乘的积表示为遞降階乘的线性组合：

${\displaystyle x^{\underline {m}}x^{\underline {n}}=\sum _{k=0}^{m}{m \choose k}{n \choose k}k!\,x^{\underline {m+n-k}}}$

等式右边的系数则为二项式系数。

階乘冪能一般化至任意函數和公差：

${\displaystyle [f(x)]^{k/h}=f(x)\cdot f(x+h)\cdot f(x+2h)\cdots f(x+(k-1)h)}$

${\displaystyle [f(x)]^{k/-h}=f(x)\cdot f(x-h)\cdot f(x-2h)\cdots f(x-(k-1)h)}$

使用這個記號，原來的遞進階乘与遞降階乘便記作 ${\displaystyle [x]^{k/1}}$ 和 ${\displaystyle [x]^{k/-1}}$ 。

差分方程里常使用遞降階乘。其应用与微积分学中的泰勒定理非常相似，不过将微分替换为对应的差分。只是在差分中，遞降階乘 ${\displaystyle x^{\underline {k}}}$ 替代微分中的 ${\displaystyle x^{k}}$ 例如：

${\displaystyle \Delta x^{\underline {k}}=kx^{\underline {k-1}}\,}$

与

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}{x^{k}}=kx^{k-1}\,}$

这种相似性在数学中称为亚微积分。亚微积分涵盖如多项式的二项式型和谢费尔序列。

• Graham, Ronald L.; Knuth, Donald E.; Patashnik, Oren E., , 1988, ISBN 0-201-14236-8.
• Olver, Peter J., , Cambridge University Press, 1999, ISBN 0521558212.

• 埃里克·韦斯坦因. . MathWorld.
• Elementary Proofs （页面存档备份，存于）

1. . reference.wolfram.com. [2022-08-23].