组合数学

An example of change ringing (with six bells), one of the earliest nontrivial results in graph theory.

最基本的組合數學的思想和枚舉的方法在古老時代就已經出現。西元前6世紀的古印度外科醫生妙聞指出可以由6種相異味道組合出63種相異結果（每種味道都可以選擇或不選擇，但不能都不選擇，因此有2⁶−1=63種組合）；羅馬時代的希臘史家普魯塔克與克律西波斯、喜帕恰斯討論了後來顯示與Schröder–Hipparchus數有關的枚舉問題[1][2]；西元前3世紀的阿基米德在其數學文章Ostomachion中講述拼接拼圖的智力遊戲（tiling puzzle）。

中世紀時，組合數學持續發展（主要是歐洲外的文明）。西元850年的印度數學家Mahāvīra提供了關於排列數與組合的公式[3][4]，甚至可能早在6世紀的印度數學家就對這些公式熟悉[5] 。西元1140年哲學家與天文學家阿伯拉罕·伊本·埃茲拉確認了二項式係數的對稱性，而二項式係數公式則是由猶太人數學家吉尔松尼德在西元1321年得到[6]。楊輝三角形最早可追溯至10世紀的數學論文，在中國則首現於13世紀南宋楊輝《詳解九章算法》。在英格蘭則出現與哈密頓迴路相關的例子[7]。

文藝復興時期，與其他數學或科學領域一樣，組合數學再現生機。帕斯卡、牛頓、雅各布·白努利、歐拉等人的研究為此新興領域打下基礎。在更近代，西爾維斯特和MacMahon也在組合計數和代數組合學有貢獻。人們此時也對圖論有極大興趣，例如關於四色問題的領域。

在20世紀下半葉，組合數學成長相當快速，甚至出現數十種新的期刊和會議[8]，這樣的成長某程度上是由對其他領域的連結與應用所帶動，如代數、機率論、泛函分析和數論。

• 計算一些物品在特定條件下分組的方法數目。這些是關於排列、組合和整數分拆。
• 地图着色问题：為地图填色，每區用一色。如果要邻區颜色相异，是否只需四色？這是圖論題。
• 船夫过河问题：船夫要把一匹狼、一只羊和一棵菜运过河。只要船夫不在场，羊就会吃白菜、狼就会吃羊，但船每次只能运送一种东西。怎样把所有东西运过河？這是線性規劃題。
• 中国邮差问题：由中华民国组合数学家管梅谷教授提出。邮差要穿过城市的每一条路至少一次，怎样行走走过的路程最短？这不是NP完全问题，存在多项式复杂度算法：先求出度为奇数的点，用匹配算法算出这些点间的连接方式，然后再用欧拉路径算法求解。也是圖論題。
• 任务分配问题（也称分配问题）：有一些员工要完成一些任务。各员工完成不同任务用的时间都不同。每个员工只分配一项任务。每项任务只分给一个员工。怎样分配员工与任务以使所花费的时间最少？也是線性規劃題。
• 如何構造幻方： 幻方為一方陣，填入不重複之自然數，並使其中每一縱列、橫列、對角線內數字之和皆相同。
• 數獨：遊戲一般由9個3×3個的九宫格組成。每一列的數字均須包含 1～9，不能缺少，也不能重複。每一宮(粗黑線圍起來的區域，通常是 3x3 的九宮格)的數字均須包含 1～9，不能缺少，也不能重複。參見Mathematics_of_Sudoku

从${\displaystyle n}$个元素取出${\displaystyle k}$个元素，${\displaystyle k}$个元素的排列數量為：

${\displaystyle P_{k}^{n}={\frac {n!}{(n-k)!}}}$

以賽馬為例，有8匹马参赛，玩家需在彩票上填入前三匹胜出的马匹号码，從8匹馬取出3匹來排前3名，排列數量為：

${\displaystyle P_{3}^{8}={\frac {8!}{(8-3)!}}=8\times 7\times 6=336}$

因为有336种排列，因此玩家在一次填入中中奖的概率是：

${\displaystyle P={\frac {1}{336}}=0.00298}$ (假設每匹馬贏的機會相等)

不過，中國大陸的教科書則是把從n取k的情況記作${\displaystyle P_{n}^{k}}$或${\displaystyle A_{n}^{k}}$（A代表Arrangement，即排列[9]）。

上例是在取出元素不重複出現的狀況建立。

從${\displaystyle n}$个元素取出${\displaystyle k}$个元素，${\displaystyle k}$个元素可以重复出现，這排列數量為：

${\displaystyle U_{k}^{n}=n^{k}}$[10]

以四星彩為例，10個數取4個，因可能重複所以排列數量為：

${\displaystyle U_{4}^{10}=10^{4}=10000}$

这时的一次性添入中奖的概率就是：

${\displaystyle P={\frac {1}{10000}}=0.0001}$

和排列不同的是，组合不考虑取出元素的顺序。

从${\displaystyle n}$个元素取出${\displaystyle k}$个，${\displaystyle k}$个元素的组合數量为：

${\displaystyle C_{k}^{n}={n \choose k}={\frac {P_{k}^{n}}{k!}}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}}$

中國大陸的教科書則是把從${\displaystyle n}$取${\displaystyle k}$的情況記作${\displaystyle C_{n}^{k}}$[11]。

以香港六合彩為例，六合彩49顆球選6顆的组合數量为：

${\displaystyle C_{6}^{49}={49 \choose 6}={\frac {49!}{6!43!}}=13983816}$

如同排列，上面的例子是建立在取出元素不重複出現狀況。

从${\displaystyle n}$个元素取出${\displaystyle k}$个元素，${\displaystyle k}$個元素可以重複出現，组合數量为：

${\displaystyle H_{k}^{n}=C_{k}^{n+k-1}}$

以取色球為例，每種顏色的球有無限多顆，從8種色球取出5顆球，這組合數量為：

${\displaystyle H_{5}^{8}=C_{5}^{8+5-1}=C_{5}^{12}={\frac {12!}{5!7!}}=792}$

因為組合數量公式特性，重複組合轉換成組合有另一種公式為：

${\displaystyle H_{k}^{n}=C_{k}^{n+k-1}={\frac {(n+k-1)!}{k!(n-1)!}}=C_{n-1}^{n+k-1}}$

另外${\displaystyle H_{k}^{n}}$也可以記為${\displaystyle F_{k}^{n}}$[12]

${\displaystyle F_{k}^{n}=H_{k}^{n}}$

• 阶乘
• 阶乘符号
• 排列
• 组合

• The Combinatorics Net （页面存档备份，存于）
• Electronic Journal of Combinatorics （页面存档备份，存于）
• 点算的奥秘 （页面存档备份，存于）