阿特伍德機

Atwood machine

我們可以藉由分解力的方法得到一個加速度的方程式。如果繩子無重量、無彈性，滑輪理想（無視半徑）且無重量，那麼我們只需要考慮張力（T），還有兩個物體的重量（mg）。先找出個別影響兩物體的力,當${\displaystyle m_{2}>m_{1}}$时,

m₁的力: ${\displaystyle \;T-m_{1}g}$

m₂的力: ${\displaystyle \;m_{2}g-T}$

利用牛頓第二運動定律, ${\displaystyle \;T-m_{1}g=m_{1}a}$, ${\displaystyle \;m_{2}g-T=m_{2}a}$ 。 将这两个方程式相加, 我們可以得到整個系統的恒定的加速度的方程式。定义合力${\displaystyle \sum F}$, 我们有 ${\displaystyle \sum F=(m_{2}g-T)+(T-m_{1}g)=g(m_{2}-m_{1})}$ 。

${\displaystyle \sum F=ma}$

${\displaystyle a={\sum F \over m}}$

${\displaystyle \sum F=g(m_{2}-m_{1})}$

${\displaystyle \;m=(m_{1}+m_{2})}$

${\displaystyle a=g{m_{2}-m_{1} \over m_{1}+m_{2}}}$

阿特伍德機有時候也被用來說明拉格朗日力學中獲得的運動方程式。 [3]

上述的方程式也可用來計算繩子上的張力，只需要將得到的等加速度方程式代入兩物體的力方程式之一中。

${\displaystyle a=g{m_{2}-m_{1} \over m_{1}+m_{2}}}$

例如代入${\displaystyle m_{1}a=T-m_{1}g}$，我們得到

${\displaystyle T=g{2m_{1}m_{2} \over m_{1}+m_{2}}}$

藉由同樣的方法，張力也可以從${\displaystyle m_{2}a=m_{2}g-T}$中求得。

若m₁與m₂之間的重量差别很小時，半徑为（r）的滑輪的轉動慣量（I）不可以被忽略。当不打滑时，滑輪的角加速度可以從以下算式求得：

${\displaystyle \alpha ={a \over r}}$

在此情況下，作用于滑輪上的總力矩為：

${\displaystyle \tau _{Total}=\left(T_{2}-T_{1}\right)r-\tau _{friction}=I\alpha }$

把该方程式与两个垂吊物体的方程式 ${\displaystyle \;T_{1}-m_{1}g=m_{1}a}$, ${\displaystyle \;m_{2}g-T_{2}=m_{2}a}$ 联合求解 ${\displaystyle \;T_{1}}$, ${\displaystyle \;T_{2}}$ 和 ${\displaystyle \;a}$，我们得到：

${\displaystyle a={g(m_{2}-m_{1})-{\tau _{friction} \over {r}} \over {m_{1}+m_{2}+{{I} \over {r^{2}}}}}}$

${\displaystyle T_{1}={m_{1}g(2m_{2}+{{I} \over {r^{2}}}+{\tau _{friction} \over {rg}}) \over {m_{1}+m_{2}+{{I} \over {r^{2}}}}}}$

${\displaystyle T_{2}={m_{2}g(2m_{1}+{{I} \over {r^{2}}}+{\tau _{friction} \over {rg}}) \over {m_{1}+m_{2}+{{I} \over {r^{2}}}}}}$

维基共享资源中相关的多媒体资源：阿特伍德機

• "Atwood's Machine （页面存档备份，存于）" by Enrique Zeleny, The Wolfram Demonstrations Project.
• "Spreading Newtonian Philosophy with Instruments: The Case of Atwood's Machine". Http://dx.doi.org/10.4236/ahs.2014.31007