阿诺索夫微分同胚

注意${\displaystyle T^{1}\mathbb {H} }$同构于李群${\displaystyle {\text{PSL}}(2,\mathbb {R} )}$。这个群是上半平面的保向等距同构组成的群。${\displaystyle {\text{PSL}}(2,\mathbb {R} )}$的李代数是${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} )}$，由以下矩阵表示

${\displaystyle J={\begin{pmatrix}1/2&0\\0&-1/2\end{pmatrix}}\quad X={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\quad Y={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle [J,X]=X,\quad [J,Y]=-Y,\quad [X,Y]=2J}$

指数映射

${\displaystyle g_{t}=\exp {tJ}={\begin{pmatrix}e^{t/2}&0\\0&e^{-t/2}\end{pmatrix}}\quad h_{t}^{*}=\exp {tX}={\begin{pmatrix}1&t\\0&1\end{pmatrix}}\quad h_{t}=\exp {tY}={\begin{pmatrix}1&0\\t&1\end{pmatrix}}}$

定义了流形${\displaystyle T^{1}\mathbb {H} ={\text{PSL}}(2,\mathbb {R} )}$上的右不变流，而${\displaystyle T^{1}M}$与此类似。定义${\displaystyle P=T^{1}\mathbb {H} ,Q=T^{1}M}$，这些流定义了P和Q上的向量场。

${\displaystyle g_{t}}$是P和Q上的测地流。根据定义李向量场在群元素的作用下是左不变的，可以得到这些场在${\displaystyle g_{t}}$下是左不变的。换句话说，空间${\displaystyle TP}$和${\displaystyle TQ}$分成了三个一维空间，或子丛，每一个都在测地流作用下不变。最后注意到其中一个子丛的向量场呈指数扩大，另一个不变，第三个呈指数缩小。

精确地说，切丛${\displaystyle TQ}$可以写成直和

${\displaystyle TQ=E^{+}\oplus E^{0}\oplus E^{-}}$

这些空间在测地流的作用下不变；即，在群元素${\displaystyle g=g_{t}}$的作用下不变。

要比较不同点q处${\displaystyle T_{q}Q}$的向量的长度，需要有度量。${\displaystyle T_{e}P={\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} )}$上的任何内积都可扩张成P上的左不变黎曼度量，进而得到Q上的黎曼度量。向量${\displaystyle v\in E_{q}^{+}}$的长度在${\displaystyle g_{t}}$的作用下指数增大。向量${\displaystyle v\in E_{q}^{-}}$的长度在${\displaystyle g_{t}}$的作用下指数衰减。${\displaystyle E_{q}^{0}}$中的向量不变。测地流是不变的

${\displaystyle g_{s}g_{t}=g_{t}g_{s}=g_{s+t}}$

但另外两个分别是衰减和增大的：

${\displaystyle g_{s}h_{t}^{*}=h_{t\exp {(-s)}}^{*}g_{s}}$

${\displaystyle g_{t}h_{t}=h_{t\exp {s}}g_{s}}$

其中${\displaystyle E_{q}^{+}}$中的切向量由曲线${\displaystyle h_{t}}$在${\displaystyle t=0}$处的导数给出。

当作用在上半平面的点${\displaystyle z=i}$时，${\displaystyle g_{t}}$对应了上半平面的一条过点${\displaystyle z=i}$的测地线。这个作用就是${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {R} )}$在上半平面的标准莫比乌斯变换，所以

${\displaystyle g_{t}\cdot i={\begin{pmatrix}\exp {(t/2)}&0\\0&\exp {(-t/2)}\end{pmatrix}}\cdot i=i\exp {t}}$

一般的测地线

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\cdot i\exp {t}={\frac {ai\exp {t}+b}{ci\exp {t}+d}}}$

式中${\displaystyle a,b,c,d}$是实数，且${\displaystyle ad-bc=1}$。曲线${\displaystyle h_{t}^{*}}$与${\displaystyle h_{t}}$称为极限圆。极限圆对应于极限球面的法向量在上半平面的运动。