階冪

類比於雙階乘，能夠為正整數 n 定義雙階冪（double expofactorial）。

當 ${\displaystyle n}$ 是單數，${\displaystyle n\$\$=n_{}^{(n-2)^{{(n-4)}^{.\,^{.\,^{.\,^{{5}^{{3}^{1}}}}}}}}}$ 。

當 ${\displaystyle n}$ 是雙數，${\displaystyle n\$\$=n_{}^{(n-2)^{{(n-4)}^{.\,^{.\,^{.\,^{{6}^{{4}^{2}}}}}}}}}$ 。

雙階冪能進一步推廣為多重階冪（multiple expofactorial）。 ${\displaystyle n\$_{(m)}}$被称为 n 的 m 重階冪，定义为

${\displaystyle n\$_{(m)}=\left\{{\begin{aligned}&1\qquad \qquad \ &&{\mbox{if }}0\leq n<m\\&n^{(n-m)\$_{(m)}}&&{\mbox{if }}n\geq m\quad \ \ \,\end{aligned}}\right.}$。

例如， ${\displaystyle 7\$_{(3)}=7^{4^{1}}=2401}$。

類比於由尼爾·斯洛恩和西蒙·普勞夫定義的超級階乘，我們能定義超級階冪（superexpofactorial）為首 n 個階冪的疊冪，記作${\displaystyle \operatorname {se} (n)}$。

${\displaystyle \operatorname {se} (n)=n\$_{}^{(n-1)\$^{{(n-2)\$}^{.\,^{.\,^{.\,^{{3\$}^{{2\$}^{1\$}}}}}}}}}$

例如， ${\displaystyle \operatorname {se} (3)={(3^{2^{1}})}^{({2^{1}})^{1}}=81}$

前幾個超級階冪為

1 , 2 , 81, ...

第四个超級階冪值約為${\displaystyle 7.975\times 10^{438}}$。

過級階冪（hyperexpofactorial）寫作 ${\displaystyle \operatorname {he} (n)}$ ，其定義為

${\displaystyle \operatorname {he} (n)={^{n}n}_{}^{{^{n-1}(n-1)}^{{^{n-2}(n-2)}^{.\,^{.\,^{.\,^{{^{3}3}^{{^{2}2}^{^{1}1}}}}}}}}}$，

其中 ${\displaystyle {^{b}a}}$ 表示疊代冪次。

例如， ${\displaystyle \operatorname {he} (3)={(3^{3^{3}})}^{({2^{2}})^{1}}}$

前幾項的過級階冪為

1 , 4 , 3381391913522726342930221472392241170198527451848561, ...

第四个過級階冪值約為${\displaystyle 10^{10^{205.43}}}$。

倒數階冪（reciprocal expofactorial）是指所有小於及等於該數的正整數之倒數的疊冪：

${\displaystyle {\frac {1}{n}}_{}^{({\frac {1}{n-1}})^{({{\frac {1}{n-2}})}^{.\,^{.\,^{.\,^{{({\frac {1}{3}})}^{{({\frac {1}{2}})}^{1}}}}}}}}}$。